Was ist die Lösung für z und wie lautet der Rechenweg?

06.11.2013, 19:34

Mathe-Fail

Was ist die Lösung für z und wie lautet der Rechenweg?

Meine Frage:
Bestimmen sie alle Punkte der x3-Achse, die von der Ebene E: 4x1-x2+8x3 = 7 den Abstand 9 haben.

Ich darf KEINE Hesse'sche Normalenform benutzen! (*heul*)

Meine Ideen:
Also ich rechne nach dem alten Prinzip aus meinem Matheunterricht:

1.)Allgemeiner Punkt auf der x3-Achse:

P(0/0/z)

2.)Gerade g orthogonal zur Ebene E:

$\begin{eqnarray*} g: vektor x = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ z \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

3.)Daraus folgt für den vektor x:
x1 = 4t
x2 = -t
x3 = z+8t

4.)Einsetzen in Ebenengleichung:

4*(4t)-(-t)+8*(z+8t)=7
=> 16t+t+8z+64t = 7
=> 81t+8z = 7
=> 81t = 7-8z
=> t = $\begin{eqnarray*} \frac{(7-8z)}{81} \end{eqnarray*}$

5.)Einsetzen in Geradengleichung:

$\begin{eqnarray*} g: Vektor x = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ z \end{pmatrix} + (\frac{(7-8z)}{81}) * \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ z \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{28-32z}{81} \\ \frac{-7+8z}{81} \\ \frac{56-64z}{81} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix} \frac{28-32z}{81} \\ \frac{-7+8z}{81} \\ \frac{56-64z}{81} + z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

-> Schnittpunkt S

6.) Jetzt möchte ich z ausrechnen, indem ich den Betrag des Schnittpunktes S mit dem Abstand 9 gleichsetze:

9 = "Betrag von" $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{28-32z}{81} \\ \frac{-7+8z}{81} \\ \frac{56-64z}{81} + z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

HIER KOMME ICH NUN ÜBERHAUPT NICHT MEHR WEITER! unglücklich

Bitte helft mir...

(sorry, aber ich habe das Formelprogramm nicht verstanden... ich sollte irgendwie "/mathaccent" verwenden.. ich habe keine ahnung was das ist.

edit von sulo: Latex-Klammern gesetzt.

06.11.2013, 20:03

riwe

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RE: Was ist die Lösung für z und wie lautet der Rechenweg?
eine mehr oder minder "witzige" variante - die HNF wäre das einzig sinnvolle:

1) bestimme den Schnittpunkt Z von E mit der z-achse.
2) bestimme die beiden punkte, die von Z auf dem normalenvektor von E den abstand d = 9 haben.
3) lege durch diese punkte parallele ebenen zu E
4) schneide mit der z-achse

06.11.2013, 21:29

Bjoern1982

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Da macht sich jemand so eine Mühe seinen Rechenweg zu posten und es wird stattdessen lieber was ganz anderes gepostet. traurig

@ Mathe-Fail

Bis zum Punkt S alles ok. Freude

Zitat:

6.) Jetzt möchte ich z ausrechnen, indem ich den Betrag des Schnittpunktes S mit dem Abstand 9 gleichsetze:

Es geht hier um den Betrag des Vektors von P nach S.
Diesen musst du dann mit 9 gleichsetzen und diese Gleichung dann nach z auflösen.
Bedenke, dass du 1/81 noch aus dem Vektor ziehen und damit vor den Betrag ziehen kannst.

06.11.2013, 22:23

Mathe-Fail

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Dein Satz finde ich sehr sympatisch Björn, ich habe wirklich versucht meinen Rechenweg verständlich abzutippen.

Und wegen deinen Tipps:
Vielen lieben Dank, dass du mir meinen Denkfehler klargemacht hast. Das Beschreiben des Rechenwegs gehört mittlerweile ja auch schon zum Abi. :/

Mittlerweile und dank deinem letzen Tipp bin ich auf das Ergebnis gekommen, aber es hat sehr sehr lange gedauert. (*lach*) Mein Name hat ja auch eine Bedeutung... Big Laugh

Danke und noch einen schönen Abend! smile

Liebe Grüße,

Mathe-Fail

06.11.2013, 22:31

Bjoern1982

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Freut mich, dass es geklappt hat.

Viel Erfolg weiterhin. Wink

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