Dreiecksungleichung

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Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »
Dreiecksungleichung
Guten Abend,
und noch ein Thread^^
Ich versuche gerade, zu zeigen, dass eine Metrik ist.

Dies sollte ja eigentlich nicht allzu schwer sein. Bei Definitheit und Symmetrie gab es auch kein Problem, allerdings hänge ich jetzt an der Dreiecksungleichung fest.
Das heißt, ich muss zeigen:

Meine Ansätze sind folgende:


Jetzt könnte ich den Bruch natürlich aufspalten, aber ich sehe den Weg trotzdem irgendwie nicht. Der Nenner stört einfach! Auch könnte ich dort den gleichen Schritt wie im Zähler durchführen, nur wird dann alles irgendwie noch komplizierter!
Ich müsste ja am Ende da stehen haben
Kann mir jemand den Trick verraten?

LG
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dreiecksungleichung
Ich würde die Funktion zu

umschreiben.
Dann sieht man ganz gut, dass sie (für positive Argumente) streng monoton steigend ist. Damit erhältst du die Abschätzung "", wenn du im Zähler und im Nenner (gleichzeitig) die Dreiecksungleichung auf anwendest.
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dreiecksungleichung
Zitat:
Original von Che Netzer
Damit erhältst du die Abschätzung "", wenn du im Zähler und im Nenner (gleichzeitig) die Dreiecksungleichung auf anwendest.

Meinst du damit

verwirrt

edit:
oder



Ok, so klappt's, vielen, vielen Dank! Einfach noch die 1 weggkürzen, kreuzweise multiplizieren und die andere 1 auch noch wegschaffen Augenzwinkern
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dreiecksungleichung
Hm, ich dachte ja an

Ich weiß nicht ganz, was du kürzen möchtest.
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dreiecksungleichung
Ich dachte an so was:









Und daraus die Behauptung. Geht das nicht? Das Ungleichheitszeichen dreht sich ja nicht um, weil die Nenner aufgrund der Betragsfunktion immer positiv werden.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dreiecksungleichung
Das sind jetzt vier Ungleichungen, die einfach so untereinander stehen verwirrt Und die erste davon ist falsch.
 
 
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dreiecksungleichung
Zitat:
Original von Che Netzer
Das sind jetzt vier Ungleichungen, die einfach so untereinander stehen verwirrt Und die erste davon ist falsch.

Ich dachte, die Äquivelenzpfeile jeweils davor kann man sich denken Hammer
Es wurde also jeweils etwas umgeformt.
Du hast recht, bei der ersten müsste das Ungleichheitszeichen andersrum, richtig?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dreiecksungleichung
Zitat:
Original von Kääsee
Ich dachte, die Äquivelenzpfeile jeweils davor kann man sich denken Hammer

Aufschreiben muss man sie natürlich trotzdem.

Zitat:
Du hast recht, bei der ersten müsste das Ungleichheitszeichen andersrum, richtig?

Genau.
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dreiecksungleichung
Zitat:
Original von Che Netzer
Zitat:
Original von Kääsee
Ich dachte, die Äquivelenzpfeile jeweils davor kann man sich denken Hammer

Aufschreiben muss man sie natürlich trotzdem.

Ja sicher, hab ich hier auf meinem Blatt auch Augenzwinkern
Aber meine Lösung geht dann auch, oder?
Vielen Dank nochmal!!
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dreiecksungleichung
Ja, zumindest das, was du bisher dazu geschrieben (bzw. gemeint) hast.
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