Krümmung unter linearen Abbildungen

06.11.2013, 20:40

Mathelehrer

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Krümmung unter linearen Abbildungen

Meine Frage:
Hallo,

ich wäre für Hilfe bei dieser Aufgabe sehr Dankbar.

Gegeben sei eine nach der Bogenlänge parametrisierte Kurve $\begin{eqnarray*} c: I \to \mathbb R ^{2} \end{eqnarray*}$ mit Krümmung $\begin{eqnarray*} \kappa \end{eqnarray*}$ , eine invertierbare (2x2)-Matrix A sowie die Kurve $\begin{eqnarray*} \tilde c := Ac \end{eqnarray*}$

a)
Geben Sie eine Formel zur Berechnung der Krümmung $\begin{eqnarray*} \tilde \kappa \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \tilde c \end{eqnarray*}$ an. Stellen Sie dazu zunächst einen Zusammenhang zwischen den Matrizen $\begin{eqnarray*} A^{T} JA \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$

b)
welche Bedingung muss A erfüllen, damit die Krümmung $\begin{eqnarray*} \kappa \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tilde \kappa \end{eqnarray*}$ übereinstimmen, sofern $\begin{eqnarray*} \kappa\neq0 \end{eqnarray*}$

Ich wäre auch sehr dankbar, wenn mir das jemand nicht nur in Mathe erklären kann, sonder auch auf deutsch, weil ich mit Diffgeo total garnichts anfangen kann...

Meine Ideen:
zu a)

also wenn ich richtig gerechnet habe gilt:
$\begin{eqnarray*} A^{T} JA = DetAJ = \lambda J \end{eqnarray*}$
aber das wars dann auch schon...

zu b)
???

06.11.2013, 21:09

Che Netzer

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RE: Krümmung unter linearen Abbildungen
Welche Formel(n) für die Krümmung kennt ihr denn schon?

06.11.2013, 22:14

Mathelehrer

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RE: Krümmung unter linearen Abbildungen
Formel keine

nur definiert:

$\begin{eqnarray*} \kappa = <v,c^{''} > = <Jc^{'},c^{''}> \end{eqnarray*}$

im Skript hab ich auch stehen:

$\begin{eqnarray*} \tilde c = c \circ \phi \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \phi>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} | \tilde c^{'} |\equiv 1 \end{eqnarray*}$ dann gilt:
$\begin{eqnarray*} \tilde \kappa = \kappa \circ \phi \end{eqnarray*}$

das werde ich wohl dafür brauchen, um die forml zu berechnen...

06.11.2013, 22:26

Che Netzer

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Die Darstellung gilt nun aber nur für Bogenlängenparametrisierungen. Wie geht ihr für andere Parametrisierungen vor? Habt ihr dafür eine Formel?

06.11.2013, 22:54

Mathelehrer

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nein etwas anderes haben wir nicht

ich dächte ich hätte eine bogenlängenparametrisierung verwirrt

verwirrt

07.11.2013, 17:44

Che Netzer

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Ja, für $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ . Nicht aber für $\begin{eqnarray*} \tilde c \end{eqnarray*}$ .

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07.11.2013, 19:24

Mathelehrer

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ok und wie geh ich dann das ganze an?

07.11.2013, 20:27

Che Netzer

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Ohne eine allgemeinere Formel wird das schwierig; die müsstest du erst herleiten (was sicher nicht Sinn der Aufgabe ist).
Sagt dir
$\begin{eqnarray*} \tilde\kappa=\frac{\langle J\dot{\tilde c},\ddot{\tilde c}\rangle}{\lvert\dot{\tilde c}\rvert^3} \end{eqnarray*}$
etwas?

07.11.2013, 21:46

Mathelehrer

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Im Skript hab ich unter allgemeine Parametrisierung

$\begin{eqnarray*} \kappa:=\frac{\langle Jc', c''\rangle}{\lvert c'\rvert^3} \end{eqnarray*}$ stehen,
Das wäre wohl heute drangekommen wenn die Volesung nicht ausgefallen wäre...

Also die einzelnen Formeln sagen mir auch sehr wenig, das ist bisher noch ein Buch mit sieben Siegeln das ganze.

07.11.2013, 22:22

Che Netzer

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Ah, super.

Zunächst einmal zur Krümmung bei Bogenlängenparametrisierung:
Da ist $\begin{eqnarray*} c' \end{eqnarray*}$ der Tangentialvektor, $\begin{eqnarray*} Jc' \end{eqnarray*}$ der um 90 Grad gedreht, also der Normalenvektor. Und $\begin{eqnarray*} c'' \end{eqnarray*}$ ist die Änderung des Tangentialvektors. Die Größe $\begin{eqnarray*} \langle Jc',c''\rangle \end{eqnarray*}$ ist dann also die Änderung des Tangentialvektors in Normalenrichtung.
Ist die Kurve nicht nach Bogenlänge parametrisiert, parametrisiert man sie um und erhält dann die neue Formel.

Nun ist also $\begin{eqnarray*} \kappa=\langle Jc',c''\rangle \end{eqnarray*}$ die Krümmung von $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tilde\kappa=\frac{\langle J\dot{\tilde c},\ddot{\tilde c}\rangle}{\lvert\dot{\tilde c}\rvert^3} \end{eqnarray*}$ die von $\begin{eqnarray*} \tilde c \end{eqnarray*}$ . Letztere gilt es nun zu vereinfachen.

07.11.2013, 23:03

Mathelehrer

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vereinfachen kann ich das nicht

ANA und LA habe ich nie gehabt.

07.11.2013, 23:12

Che Netzer

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Wo und wieso werden dir dann solche Aufgaben gestellt? geschockt

geschockt

Ist das so gedacht oder hörst du dir entsprechende Vorlesung zu früh?

Weißt du denn z.B. was transponierte Matrizen sind und was sie mit Skalarprodukten zu tun haben?

07.11.2013, 23:20

Mathelehrer

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das wo ist erstmal egal, geht um die "fachliche Tiefe der Mathematik" die mir (und Komilitonen) aufgezeigt werden soll...

was transponierte MAtrizen sind weiß ich (spiegelung an der diagonalen)
Skalarprodukt kenn ich auch, zusammenhang von beidem kenn ich nicht.

Wenn ich die Veranstalltung aber schaffe hab ich das Studium hinter mir.
Von daher brauch ich echt die Übungsaufgaben um zur Prüfung zugelassen zu werden.

08.11.2013, 07:29

Che Netzer

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Euch aber Aufgaben dazu zu stellen, obwohl das nötige Vorwissen nicht vermittelt wurde, halte ich für unsinnig...

Naja, vielleicht hast du folgendes ja schonmal gesehen:
"Transponieren" heißt überetzt soviel wie "hinübersetzen", also z.B. die Einträge über die Diagonale. Oder die Matrix von einer Seite auf die andere. Wenn du also $\begin{eqnarray*} \langle v,Aw\rangle \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v,w\in\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A\in\mathbb R^{n\times n} \end{eqnarray*}$ (und dem euklidischen Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} \langle\cdot\,,\cdot\rangle \end{eqnarray*}$ ) betrachtest, kannst du die Matrix auf die linke Seite hinüberziehen, indem du sie transponierst:
$\begin{eqnarray*} \langle v,Aw\rangle=\langle A^{\mathrm T}v,w\rangle\,. \end{eqnarray*}$

08.11.2013, 09:27

Mathelehrer

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ich halte es auch für unsinnig, aber sag das mal einer Prüfungskommision...

ich kann ja auch schreiben,

$\begin{eqnarray*} \tilde\kappa=\frac{\langle JAc', Ac''\rangle}{\lvert Ac'\rvert^3} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \tilde\kappa=\frac{\langle A^{T} JAc', c''\rangle}{\lvert Ac'\rvert^3} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \tilde\kappa=\frac{\langle J\lambda c', c''\rangle}{\lvert Ac'\rvert^3} \end{eqnarray*}$ =
$\begin{eqnarray*} \tilde\kappa=\frac{\lambda \kappa }{\lvert Ac'\rvert^3} \end{eqnarray*}$

richtig?
fertig?

08.11.2013, 17:09

Che Netzer

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Ja, wenn $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ die Determinante von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ sein soll.

09.11.2013, 10:16

Mathelehrer

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also schonmal vielen Dank für die Hilfe!!!

zu b)

reicht es dann zu sagen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{Det(A)}{\lvert Ac'\rvert^3} = 1 \end{eqnarray*}$ sein muss?

09.11.2013, 10:26

Che Netzer

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Da kannst du dir aber noch überlegen, wann dies für alle möglichen Einheitsvektoren $\begin{eqnarray*} c' \end{eqnarray*}$ gilt.

09.11.2013, 11:39

Mathelehrer

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sorry das versteh ich jetzt nicht

kann ich die Matrix einfach aus dem Betrag rausziehen???
Auch wenn ich Ac ausmultipliziere komm ich nicht weiter

es gilt aber $\begin{eqnarray*} \sqrt{c^{2}_{1} + c^{2}_{2} } =1 \end{eqnarray*}$

09.11.2013, 12:11

Che Netzer

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Nein, die Matrix kannst du nicht einfach aus dem Betrag ziehen. Wie auch?

Kennt ihr aber den Fundamentalsatz über ebene Kurven? Dass diese durch ihre Krümmung in gewisser Weise eindeutig bestimmt sind?

09.11.2013, 12:20

Mathelehrer

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nein

09.11.2013, 13:10

Che Netzer

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Hm. Naja, zwei ebene Kurven mit gleicher Krümmung unterscheiden sich nur durch Rotation und Translation – das ist die Aussage des Satzes (bzw. ein Teil davon).
Vielleicht hilft es dir ja, wenn du schon weißt, dass du zeigen sollst, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine Rotation sein muss.

09.11.2013, 14:20

Mathelehrer

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ok wenn A Rotationsmatrix ist muss Det(A) =1 sein

$\begin{eqnarray*} \frac{Det(A)}{\lvert Ac'\rvert^3} = 1 \end{eqnarray*}$

daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} \lvert Ac'\rvert = 1 \end{eqnarray*}$

09.11.2013, 14:30

Che Netzer

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Naja, dass $\begin{eqnarray*} \det A=1 \end{eqnarray*}$ ist, kannst du ja noch nicht voraussetzen.
Erstmal kannst du $\begin{eqnarray*} \tilde A:=\frac1{\sqrt[3]{\det A}}A \end{eqnarray*}$ betrachten, so dass $\begin{eqnarray*} \lvert\tilde A c'\rvert^3=1 \end{eqnarray*}$ sein soll. Damit weißt du schonmal, dass $\begin{eqnarray*} \tilde A \end{eqnarray*}$ eine Rotationsmatrix ist; $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ also ein Vielfaches davon (überleg dir das nochmal genauer).
Anschließend kannst du noch $\begin{eqnarray*} \det A=1 \end{eqnarray*}$ zeigen.

09.11.2013, 15:28

Mathelehrer

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ich denke da kommt heut nix mehr aus meinem Hirn raus...

Aber echt vielen Dank für die Hilfe

10.11.2013, 09:53

Mathelehrer

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sorry aber der letzte Teil wird mir nicht klar...

zum Verständnis aber:

die Krümmung der beiden Kurven soll gleich sein. Die Krümmung bleibt nur gleich, wenn ich die Kurve drehe und/oder verschiebe. Bei einer Spiegelung würde sich die Orientierung der Kurve ändern und der Radius der einen Kurve wäre dann negativer Radius der anderen Kurve.

10.11.2013, 10:02

Che Netzer

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Zitat:

Original von Mathelehrer
die Krümmung der beiden Kurven soll gleich sein. Die Krümmung bleibt nur gleich, wenn ich die Kurve drehe und/oder verschiebe. Bei einer Spiegelung würde sich die Orientierung der Kurve ändern

Ja.

Zitat:

und der Radius der einen Kurve wäre dann negativer Radius der anderen Kurve.

Was soll der Radius einer Kurve sein?

10.11.2013, 10:20

Mathelehrer

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ok der Radius des Kreises am Punkt t der die Kurve im Punkt t am besten annähert

10.11.2013, 10:24

Che Netzer

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Also die inverse Krümmung Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ja, Spiegelungen kehren das Vorzeichen der Krümmung um.

10.11.2013, 10:34

Mathelehrer

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nochmal vielen Dank für die Hilfe

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