Reihenbasierte Approximation an den Erwartungswert

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Spark22 Auf diesen Beitrag antworten »
Reihenbasierte Approximation an den Erwartungswert
Hallo nochmal,

ich hänge mal wieder bei einer Aufgabe fest, beziehungsweise weiß ich nicht so richtig was ich eigentlich machen soll. Es geht um eine reihenbasierte Approximation an . Aber dazu erstmal alle Informationen.

Sei eine Zufallsvariable mit dem Erwartungswert und Varianz und sei eine deterministische Funktion. Im Allgemeinen gilt dann:


Die Aufgabe ist es nun, eine reihenbasierte Approximation an zu finden, bei der man unterstellen soll, dass zweimal stetig differenzierbar ist und klein ist, so dass konzentriert ist in der Umgebung von .

Schön und gut. Vom Verständnis her sagt mir das nicht viel. Aber wenn ich reihenbasierte Approximation und zweimal stetig differenzierbar lese, denke ich natürlich an eine Taylor-Reihe. Jedoch ist mir nicht klar wie ich damit den Erwartungswert approximieren soll und noch weniger was das mit der kleiner Varianz auf sich hat. Ich brauche wohl mal wieder Hilfe, da ich nur Bahnhof verstehe.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, du kannst eine Taylorentwicklung von mit Entwicklungspunkt machen:



mit Restglied . Das ergibt dann



Über das Restglied ist nun wenig bekannt, unter Weglassung desselben käme man zu

.


Eine seriösere Abschätzung ist mit dem Restglied von Lagrange möglich:

mit .

Sofern nun nur Werte auf einem kleinen Intervall um annehmen kann, dann ergibt sich durch analoge Erwartungswertbildung wie oben sowie unter Nutzung der zweimaligen stetigen Differenzierbarkeit von die Existenz eines mit

,

was also zu einer beidseitigen Abschätzung



führt.
Spark22 Auf diesen Beitrag antworten »

Wow, danke. Ja ich habe das soweit verstanden und ich war wohl auf dem richtigen Weg. Nur um sicher zu gehen, noch eine Frage. Im zweiten Teil der Aufgabe sollen wir die Approximaton auf eine log-normalverteilte Zufallsvariable anwenden, wobei dann ist und .

Nach der Approximationsformel ergibt das meiner Meinung nach:



Die Frage geht dann noch weiter, und es wird nach der Güte der Annäherung gefragt. Muss ich meine Annäherung jetzt einfach mit dem Erwartungswert von vergleichen? Die ist ja laut Definition einer log-normalverteilten Zufallsvariable:


Nur was ist dann die Güte der Annäherung?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Spark22
Nur was ist dann die Güte der Annäherung?

Weiß ich auch nicht, ob ihr da eine spezielle Definition für diesen Begriff habt.


Du kannst jedenfalls auch beim "echten" Taylor (d.h. dann die Exponentialreihe) anwenden, auch in Anbetracht dessen, dass ja "klein" sein soll:

,

d.h. der Fehlerterm ist dann schon mal nur noch in der Größenordnung .
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