Dirichlet Approximation

06.11.2013, 23:05	Lena1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Dirichlet Approximation Meine Frage: Es seien p.q ganze Zahlen mit $\begin{eqnarray} q \ne 0 \end{eqnarray}$ . Man zeige: $\begin{eqnarray} \| \sqrt(2) - \frac{p}{q} \| > \frac{1}{3q^2} \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Hab leider gar keine Ansätze schon seid Stunden rumprobiert aber ich weiß einfach nicht was Wurzel(2) so besonderes hat, oder wie ich die abschätzen soll...
06.11.2013, 23:24	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, die Hauptidee: $\begin{eqnarray} \left\| \sqrt{2} - \frac{p}{q} \right\| = \left\| \frac{\sqrt{2}q-p}{q} \right\| = \left\| \frac{(\sqrt{2}q-p)(\sqrt{2}q+p)}{q(\sqrt{2}q+p)} \right\| = \left\| \frac{2q^2-p^2}{q(\sqrt{2}q+p)} \right\| \geq \left\| \frac{1}{q(\sqrt{2}q+p)} \right\| \end{eqnarray}$ weil $\begin{eqnarray} \|2q^2-p^2\| \geq 1 \end{eqnarray}$ ist. Jetzt ist der Nenner rechts noch in Hinblick des Zieles geeignet abzuschätzen.
06.11.2013, 23:37	Lena1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry stehe gerade aufm Schlauch, kann noch etwas dauern
06.11.2013, 23:54	Lena1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Komme nicht drauf sorry..
07.11.2013, 08:01	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Da nicht erkennbar ist (etwa durch Detailfragen), dass du dich mit dem Ansatz beschäftigst, scheinst du ihn in seiner Ganzheit abzulehnen. Da hat es dann auch keinen Zweck, dass ich den näher erläutere - auch sorry.
07.11.2013, 08:13	Lena1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja ich hatte bei allen Ansätzen das Problem, das ich eben nie wusste wie ich was mit $\begin{eqnarray} sqrt(2)q+p \end{eqnarray}$ abschätzen soll wegen der Wurzel 2.
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07.11.2013, 08:22	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Geht das auch etwas konkreter: Wogegen willst du $\begin{eqnarray} \sqrt{2}q+p \end{eqnarray}$ abschätzen, und wieso klappt das nicht "wegen der Wurzel 2" ?

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