Vollständige Induktion (Summe mit Binomialkoeffizient)

07.11.2013, 00:36

Knuff

Vollständige Induktion (Summe mit Binomialkoeffizient)

Hey Leute,

Ich habe folgendes Problem:

Ich soll durch vollständige Induktion Beweisen das folgende Aussage stimmt:

Edit (mY+): Links zu externen Uploadseiten sind nicht erlaubt und werden daher entfernt. Hänge statt dessen die Grafik an deinen Beitrag an!

[attach]32025[/attach]

Ich weiß das man diese Aussage mit dem Binomischen Lehrsatz herleiten kann, leider fehlt mir jeder Ansatzpunkt.

Könnt ihr mir vll einen Ansatz geben?

Vielen dank Big Laugh

07.11.2013, 01:13

10001000Nick1

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RE: Vollständige Induktion (Summe mit Binomialkoeffizient)

Zitat:

Original von Knuff
Ich weiß das man diese Aussage mit dem Binomischen Lehrsatz herleiten kann, leider fehlt mir jeder Ansatzpunkt.

Ja, wenn man den binomischen Lehrsatz benutzen darf, ist das ganze eine Einzeiler.

Aber da du das ja mit vollständiger Induktion zeigen sollst, musst du es wohl etwas länger machen. Also: Erstmal den Induktionsanfang n=0.

07.11.2013, 01:14

mYthos

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Wende den binomischen Lehrsatz auf $\begin{eqnarray*} 2^n = (1 + 1)^n \end{eqnarray*}$ an!
__________

Edit: Es hat für mich so ausgesehen, dass er/sie den Beweis auch mit dem binomischen LS nicht durchführen kann.

mY+

07.11.2013, 10:26

Knuff

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Also wir müssen es mit vollständige Induktion machen und ich habe den Induktionsanfang schon gemacht.

Den Induktionsschritt sieht dann wie folgend aus:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^(n+1) \begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} = 2^{n+1} \end{eqnarray*}$

Die frage ist jetzt wie ich von wie ich jetzt das eine umformen kann das, das andere Rauskommt. Ich weiß gar nicht wie ich anfangen soll beim umformen?

07.11.2013, 11:04

klarsoweit

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Zitat:

Original von Knuff
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^(n+1) \begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} = 2^{n+1} \end{eqnarray*}$

Besser: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} = 2^{n+1} \end{eqnarray*}$

Eigentlich geht man ähnlich vor wie beim Beweis des binomischen Satzes: ziehe die Summanden für k=0 und k=n+1 aus der Summe raus und nutze $\begin{eqnarray*} \binom{n+1}{k} = \binom{n}{k-1} + \binom{n}{k} \end{eqnarray*}$ .

07.11.2013, 12:15

Knuff

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somit ist:

$\begin{eqnarray*} 2+ \sum\limits_{k=1}^{n} \begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$