Unterschied zwischen Klasse und Familie

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Binumi Auf diesen Beitrag antworten »
Unterschied zwischen Klasse und Familie
Meine Frage:
Hallo liebe Forum-Mitglieder,

ich stelle mir gerade die Frage, ob es einen Unterschied zwischen einer Klasse von Funktionen und einer Familie von Funktionen gibt, oder ob beide Begriffe äquivalent genutzt werden können. Kann mir dazu jemand etwas sagen?

Viele Grüße und Danke für eure Antworten!

Meine Ideen:
Mir fallen keine Unterschiede ein.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Klasseneinteilung einer Menge ist eine Zerlegung der Menge in paarweise disjunkte Teilmengen, das sind die Klassen.
Eine Familie von Objekten ist eine durch eine Indexmenge I indizierte Menge .
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ Elvis

So eindeutig ist die Sache, glaube ich, nicht. Der Begriff Klasse ist ein bißchen unbestimmt. In manchen Disziplinen der Mathematik hat er eine festgelegte Bedeutung. Ein Beispiel dafür hast du genannt. Um ein anderes zu nennen: In der Mengenlehre spricht man von Klassen als den Mengen vorgelagerten, nicht mehr notwendigerweise als ein fertiges Ganzes denkbaren Zusammenfassungen.

Wenn man aber etwa in der Analysis von der Klasse der zweimal stetig differenzierbaren Funktionen spricht, dann ist das Wort Klasse gleichbedeutend mit Menge. Warum man hier eher von Klasse als von Menge spricht, hat wohl historische Gründe. Es kommt halt darauf an, wer den Begriff im Kontext zuerst geprägt hat.

Eine Familie in ist streng genommen keine Menge, sondern eine Ansammlung von Dingen aus , die durch einen Index "durchnummeriert" werden, formal also nichts anderes als eine Abbildung mit als der Menge der Indizes. So kann man etwa die reellen Funktion und betrachten mit



Die Familien



beschreiben beide die Familie der proportionalen Funktionen, bei der ersten Familie bekommt allerdings die Proportionalität mit der Steigung die "Nummer" , bei der zweiten die "Nummer" . Die Familien sind daher nicht gleich:



Man könnte jetzt auch die Mengen



betrachten. Da Mengen ungeordnete Systeme sind, bei denen man von irgendeiner aufgeprägten Ordnung (hier die durch den Index aufgeprägte Ordnung) abstrahiert, sind die Funktionenmengen gleich:



Beide Male haben wir die Menge (oder Klasse?) der proportionalen Funktionen vor uns.

Es gibt sicher viele Anwendungen, wo die Unterscheidung, ob man das Ding eher als Familie oder Menge (Klasse) ansprechen soll, unwichtig ist. Dann wird mal das eine, mal das andere gesagt. Aber anderswo kommt es auf die Unterscheidung an.

Es gibt aber auch beim Begriff Familie Ausnahmen. In der komplexen Analysis gibt es Familien holomorpher Funktionen, obwohl man nach heutiger Praxis eher von Mengen (Klassen) sprechen müßte. Aber auch da ist die Wirkgeschichte stärker, so daß der Begriff überlebt hat, obwohl er zur heutigen Bourbaki-Sprache nicht mehr paßt.
Binumi Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine ausführliche Antwort @Leopold.

In einem etwas konkreteren Beispiel, angenommen ich hätte eine Funktion definiert auf dem und für bestimmte a und b ergeben sich spezielle Eigenschaften der Funktion wie zum Beispiel die positive Definitheit. Kann man dann von einer Parametrischen Familie reden, oder eher einer Klasse?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Indexmenge besteht aus den zulässigen Paaren . Es liegt also eine Familie vor. Du kannst auch weniger hochtrabend einfach von einer Funktionsschar sprechen. Dabei ist "parametrisch" redundant, aber natürlich nicht verboten.
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