Partielle Integration/Substitution

07.11.2013, 12:50	Muckl	Auf diesen Beitrag antworten »
Partielle Integration/Substitution Hi, ich möchte gerne folgendes Integral lösen: $\begin{eqnarray} y(t)=\int_{0}^{t}e^{-\delta (t-\tau)}cos(\tau(\omega _a+\omega _0)-\omega _0 t)d\tau \end{eqnarray}$ Mein erste Hoffnung war, dass ich den Inhalt des Cosinus substituiere und dann in der Integrationstabelle fündig werde. Hab also $\begin{eqnarray} u=\tau (\omega _a + \omega _0)-\omega _0 t \end{eqnarray}$ daraus folgt $\begin{eqnarray} \tau=\frac{u+\omega _0 t}{\omega _a + \omega _0} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} d\tau = \frac{du}{\omega _a + \omega _0} \end{eqnarray}$ das Integral wird dann zu $\begin{eqnarray} y(t)=\frac{1}{\omega _a+\omega _0}\int_{0}^{t}e^{-\delta \left(t-\frac{u}{\omega _a + \omega _0}-\frac{\omega _0t}{\omega _a + \omega _0}\right)}cos(u)du \end{eqnarray}$ Hierfür finde ich leider keine Lösung in den Tabellen und den Inhalt über e zu substituieren ergibt wohl auch keinen Sinn. Zweite Idee war, einfach komplett Partiell zu integrieren. Leider auch ohne Erfolg: $\begin{eqnarray} \int u' v d\tau=uv-\int uv'd\tau \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} u'=e^{-\delta (t-\tau)} \end{eqnarray}$ und seiner Substitution komme ich auf $\begin{eqnarray} u=\frac{1}{\delta ^2 (\tau-t)}e^{\delta (\tau -t)} \end{eqnarray}$ und mit $\begin{eqnarray} v=cos(\tau (\omega _a + \omega _0)-\omega _0 t) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v'=(\omega _a +\omega _0) sin(\tau (\omega _a +\omega _0)-\omega _0 t) \end{eqnarray}$ komme ich auf folgende Lösung $\begin{eqnarray} \frac{1}{\delta ^2 (\tau -t)}e^{\delta (\tau-t)}cos\left(\tau (\omega _a +\omega _0)-\omega _0 t\right)+\int \frac{\omega _a + \omega _0}{\delta ^2 (\tau -t)}e^{\delta(\tau-t)} sin\left(\tau (\omega _a +\omega _0 ) -\omega _0 t\right)d\tau \end{eqnarray}$ Leider kann ich nicht erkennen, dass eine nochmalige Integration zum Erfolg führen wird. Besonder weil nur einen Term im Produkt hinzugekommen ist. Hat jemand eine Idde? Wäre super!! Gruß, Malte
07.11.2013, 12:57	schultz	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier solltest du eigentlich mit zweimaliger partieller Integration zum Ziel kommen. Vieleicht hilft noch: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{t}e^{-\delta (t-\tau)}cos(\tau(\omega _a+\omega _0)-\omega _0 t)d\tau=e^{-\delta t}\int_{0}^{t}e^{\delta \tau}cos(\tau(\omega _a+\omega _0)-\omega _0 t)d\tau \end{eqnarray}$
07.11.2013, 14:09	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine weitere Möglichkeit wäre der Umweg ins Komplexe, d.h. man nutzt $\begin{eqnarray} \cos(\varphi)=\operatorname{Re}\left( e^{i\varphi} \right) \end{eqnarray}$ , es ist dann $\begin{eqnarray} y(t) = \operatorname{Re}\left( \int\limits_0^t e^{-\delta(t-\tau)+i(\tau(\omega _a+\omega _0)-\omega _0 t)} ~ \dd \tau \right) \end{eqnarray}$ . Der Integrand hat dann die einfache Gestalt $\begin{eqnarray} Ce^{\alpha \tau} \end{eqnarray}$ mit allerdings komplexen $\begin{eqnarray} C,\alpha \end{eqnarray}$ .
08.11.2013, 09:57	Muckl	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die schnelle Antwort. Ich werde beides mal versuchen. Achso, wenn ich die E-Funktion in Anteile von t und tau aufteile, erhalte ich für die zweite partielle Integration nicht dieses Protukt mit drei Termen die von t abhängen. Das natürlich gut. Da habe ich nicht dran gedacht. Komplex ist natürlich sehr elegant. Ich werde mal beides versuchen!

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