Wahrscheinlichkeit bei Approximation durch Stirling-Formel (Fehler bei Bestimmung des Limes)

07.11.2013, 13:30

Hilfloser4

Wahrscheinlichkeit bei Approximation durch Stirling-Formel (Fehler bei Bestimmung des Limes)

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe gehabt:
Ein gewöhnlicher Irrfahrer auf Z setzt Schritte von +1 oder -1 nach Manier eines fairen Münzwurfes aneinander. Berechnen Sie die W´keit, dass er, wenn er im Ursprung startet, nach 2n Schritten wieder im Ursprung ist.

Ich hatte hier als Ergebnis für die W´keit heraus: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2n \\ n \end{pmatrix} * (\frac{1}{2} )^{n} \end{eqnarray*}$ .
(Ich hoffe das ist richtig.)

Weiter ging die Aufgabe:
Approximieren Sie die errechnete W´keit mithilfe der Stirling-Formel.
Mein Ansatz war dann einfach

P(X=0) = $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{2} )^{n} * \frac{\sqrt{2 \pi 2n}*(\frac{2n}{e})^{2n}}{(\sqrt{2\pi n} * (\frac{n}{e})^{n}))^{2} } \end{eqnarray*}$

Ich habe dann umgeformt und heraus kam:
$\begin{eqnarray*} \frac{2^{n}}{\sqrt{\pi n} } \end{eqnarray*}$

Wenn ich n aber nun gegen unendlich laufen lasse, dann kommt unendlich heraus als Grenzwert, aber eigentlich sollte doch 0 herauskommen oder nicht?

Habe ich mich irgendwo verrechnet? Oder war schon das erste Ergebnis falsch?

07.11.2013, 13:34

HAL 9000

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Zitat:

Original von Hilfloser4
Ich hatte hier als Ergebnis für die W´keit heraus: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2n \\ n \end{pmatrix} * (\frac{1}{2} )^{n} \end{eqnarray*}$ .

Tatsächlich ist diese Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} \binom{2n}{n} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{{\color{red}2}n} \end{eqnarray*}$ , was dann wohl den Sachverhalt klärt. Augenzwinkern

07.11.2013, 13:36

Hilfloser4

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Oh man, stimmt das hatte ich glaube ich verloren irgendwie.
Ich muss ja durch die Anzahl ALLER Möglichkeiten teilen und die ist nicht n, sondern 2n richtig?

07.11.2013, 14:01

HAL 9000

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So ist es, es sind $\begin{eqnarray*} 2n \end{eqnarray*}$ Würfe, nicht nur $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

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