Termumformung Ungleichung

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IXI Cion Auf diesen Beitrag antworten »
Termumformung Ungleichung
Meine Frage:
Stimmt die folgende Gleichung(Ungleichung):

mit

Meine Ideen:
Hab versucht das zu lösen bzw zu beweisen mit Induktion.

Der Anfang/die Verankerung ist offensichtlich und es klappt auch wunderbar wenn man die 3 benutzt, daher spar ich mir den Teil.

Der Schritt sehe bei mir wie folgt aus:


Durch ausmultiplizieren und umformen:


Durch wegkürzen ergibt sich dann:
mit

Gibt es etwas an dem Beweis auszusetzen oder ist das was ich hier gemacht habe mathematisch korrekt ? smile
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ist sogar relativ weit von einer richtigen Rechnung entfernt. Beispielsweise ist und wie Du beim Ausmultiplizieren auf x+x kommst, ist ebenfalls ein Mysterium.

Ist die Induktion eine Vorgabe der Aufgabenstellung? Ansonsten würde ich auf beiden Seiten abzuziehen und dann durch teilen.
IXI Cion Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, gut zu wissen, dass das schonmal nicht stimmt ^^

Es ist vorgegeben die Gleichung oder Ungleichung zu beweisen und da schien mir Induktion der richtige Weg, nur fehlt mir jetzt wieder ein Ansatz verwirrt ^^
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde es so ähnlich wie Helferlein angehen: Äquivalent umgeformt lautet die Ungleichung





Für sollte das sofort klar sein, da die beiden Faktoren links dann >1 bzw. >1 sind. Und kann noch als Einzelfall überprüft werden.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Termumformung Ungleichung
@IXI Cion
Wenn Dir mein Vorschlag nicht zusagt, dann mach es halt doch mit Induktion. Du musst nur richtig ausmultiplizieren:



Danach schätzt Du den ersten Term geeignet ab, um anschließend die Induktionsvoraussetzung einzusetzen.
IXI Cion Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Termumformung Ungleichung
Ich komm mit dem Vorschlag nicht ganz klar, zumindest fehlt mir irgendwie grade das Verständnis für eure Vorschläge, habe aber noch einen eigenen, falls das so wieder nicht geht wäre ich froh wenn ihr mir das näher erklären könntet :3

| den Term mit multiplizieren

Daraus folgt:


Umformen und auflösen ergibt:


Durch 2*n teilen und 1 subtrahieren:
 
 
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man sich unsicher ist, sollte man testweise einen oder mehrere Werte einsetzen.
Mit x=3 behauptest Du beim zweiten Gleichheitszeichen in der zweiten Zeile, dass , also und das ist offensichtlich nicht richtig.

Zu welchem der drei Vorschläge brauchst Du nähere Erläuterungen?
IXI Cion Auf diesen Beitrag antworten »

Das Gleichheitszeichen sollte kein Gleichsetzen der Terme sein, das sollte eigentlich verdeutlichen das ich aus dem erstem Term


den 2. Term gemacht habe:


oder stimmt das so nun wieder nicht ?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Damit hast Du aber nicht die komplette rechte Seite multipliziert, sondern nur den Wurzelterm.
IXI Cion Auf diesen Beitrag antworten »

Also muss es so sein?

Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Das wäre von der Umformung her richtig, wird Dir aber für die Induktion nichts nützen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Aufgabe ist eigentlich eine gute Gelegenheit, sich von der falschen Vorstellung zu verabschieden, dass Vollständige Induktion immer die beste Beweismethode für Aussagen über natürliche Zahlen ist. Manchmal arten derartige Versuche dann in reinen Krampf aus. Augenzwinkern
IXI Cion Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich dachte nur das Vollständige Induktion hier richtig sei, da unser Tutor uns für den Beweis Vollständige Induktion ans Herz gelegt hatte, aber wenn das nicht der Fall ist dann versuch ich das mit euren Tipps.

Habe eine Frage:





Das kann ich nachvollziehen, und mit nachrechnen ist das auch korrekt, aber ist es denn damit auch für alle natürlichen Zahlen > 2 bewiesen ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, man sollte schon vernünftig begründen, dass der Term links für die oben genannten monoton wachsend ist. Und wenn das der Fall ist, und die Ungleichung für gilt, dann gilt sie wegen der Monotonie natürlich auch für alle .
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