Wahrscheinlichkeitsraum zu Experiment angeben

07.11.2013, 18:55

Hilfloser4

Wahrscheinlichkeitsraum zu Experiment angeben

Hey,

ich habe noch eine Frage zu einer Aufgabe, die wie folgt aussieht:

Ein schwenkbarer Laserpointer sei im Abstand l über einem Schirm angebracht. Dieser sendet einen Lichtstrahl in einem (uniform) zufälligen Winkel w mit $\begin{eqnarray*} \frac{-\pi}{2} \textless w \textless \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ zum Lot auf den Schirm. Wir können uns hierbei den Schirm als reelle Zahlengerade vorstellen, wobei das Lot auf dem Schirm die Zahlengerade in 0 schneidet. Wir bezeichnen mit X die reellwertige Zufallsvariable, welche den Punkt, an dem der Lichtstrahl auf den Schirm trifft, angibt.

Beschreiben Sie das Experiment durch einen geeigneten W´raum.

Mein Ansatz lautet wie folgt:

Wähle $\begin{eqnarray*} (\Omega, F, P) \end{eqnarray*}$ , wobei
$\begin{eqnarray*} \Omega : = \left\{X_{w}: \frac{-\pi}{2} \textless w \textless \frac{\pi}{2} \right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F:= 2^{\Omega} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P: F -> (\frac{-\pi}{2} , \frac{\pi}{2}) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} P(w) = \frac{1}{\pi} , \forall w \in \Omega \end{eqnarray*}$

Ich bin mir nicht sicher, ob ich den W´raum richtig beschrieben habe. Kann mir jemand sagen, ob das stimmt und wenn nein, wo ich nochmal ansetzen muss?

Danke

08.11.2013, 08:12

HAL 9000

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Wenig richtiges, und überwiegend falsches darunter:

Zunächst mal hat die Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ nichts in der Definition des W-Raumes verloren, es ist also einfach $\begin{eqnarray*} \Omega = \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \end{eqnarray*}$ .

Das Wahrscheinlichkeitsmaß auf diesem $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ist auch nicht diskret, wie du mit deinem $\begin{eqnarray*} P(\omega) \stackrel{?}{=} \frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$ hingeschrieben hast: Wie soll das gehen, unendlich (ja sogar überabzählbar unendlich) viele $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ , alle mit der Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$ ??? geschockt

Nein, es geht hier um eine stetige Gleichverteilung, und die ist immer definiert gemäß $\begin{eqnarray*} P(A) = \frac{\lambda(A)}{\lambda(\Omega)} \end{eqnarray*}$ mit einem Lebesgue-Maß $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ der passenden Dimension (hier schlicht das eindimensionale), d.h. also

$\begin{eqnarray*} P(A) = \frac{\lambda(A)}{\pi} \end{eqnarray*}$ .

Und damit kommen wir auch zum letzten offenen Punkt des W-Raumes $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathcal{F},P) \end{eqnarray*}$ , der Sigma-Algebra $\begin{eqnarray*} \mathcal{F} \end{eqnarray*}$ :

Die Potenzmenge $\begin{eqnarray*} \mathcal{F} \stackrel{?}{=} 2^{\Omega} \end{eqnarray*}$ geht nicht, die ist viel zu groß, weil auf der das ja benötigte Lebesgue-Maß nicht definiert ist. unglücklich

Man muss sich also wie immer in solchen Fällen sinnvoll einschränken, z.B. vernünftigerweise auf die mit der Borel-Sigma-Algebra $\begin{eqnarray*} \mathcal{B} \end{eqnarray*}$ des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^1 \end{eqnarray*}$ formulierbare Sigma-Algebra $\begin{eqnarray*} \mathcal{F} = \mathcal{B} \cap \Omega = \mathcal{B} \cap \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Zur vollständigen Beschreibung des Experiments gehört auch noch die Definition der Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} X:\;\Omega\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ des Auftreffpunktes - das ist nun einfache Trigonometrie.

08.11.2013, 09:21

Hilfloser4

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Hey HAL,

danke zunächst für die Antwort, ich muss allerdings direkt fragen, was das Lebesgue-Maß ist, da wir das in der Vorlesung noch nicht behandelt haben. Ist die Aufgabe auch ohne Verwendung dieses Maßes "lösbar"?

08.11.2013, 13:05

HAL 9000

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Ich bin ehrlich gesagt ein wenig verwundert, dass du das Lebesguemaß nicht kennst, wo du doch sonst offenbar mit Wahrscheinlichkeitsräumen $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathcal{F},P) \end{eqnarray*}$ operierst, wozu nach meinem Verständnis ein wenig Maßtheoriekenntnisse erforderlich sind. verwirrt

Nun Ok, dann sagen wir einfach Längenmaß dazu, das sollte zumindest für alle abzählbaren disjunkten Vereinigungen von Intervallen und Punkten klar sein: Es ist einfach die Summe der Längen dieser Intervalle.

Die Verteilungsfunktion dieses Gleichverteilungsmaßes ist hier dann einfach

$\begin{eqnarray*} F(x) = P((-\infty,x]) = \begin{cases} 0 & \;\mbox{für}\; x \leq -\frac{\pi}{2} \\ \frac{1}{2} + \frac{x}{\pi} & \;\mbox{für}\; -\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} \\ 1 & \;\mbox{für}\; x \geq \frac{\pi}{2} \end{cases} \end{eqnarray*}$

mit zugehöriger Dichte

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\pi} & \;\mbox{für}\; -\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} \\ 0 & \;\mbox{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

08.11.2013, 14:04

Hilfloser4

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Super danke das ist vollkommen nachvollziehbar.
Zur Definition des W´maßes aus dem W´raum:

Ist das dann das gleiche wie die verteilungsfunktion? Oder muss ich das anders angeben, wenn ich nur den W´raum angeben will?

08.11.2013, 14:18

HAL 9000

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Verteilungsfunktionen gibt es nur auf den reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , bzw. bei mehrdimensionalen Zufallsgrößen auf dem $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ aber hat nicht notwendig eine solche Struktur, also kann man $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ i.a. auch nicht durch eine Verteilungsfunktion beschreiben. Im allgemeinen Fall beschreibt man $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ durch Angabe der Werte $\begin{eqnarray*} P(A) \end{eqnarray*}$ für zumindest alle $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ aus einem Erzeugenden-System von $\begin{eqnarray*} \mathcal{F} \end{eqnarray*}$ .

Wenn aber wie hier dann doch $\begin{eqnarray*} \Omega\subset \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist, dann kann man natürlich formal die Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} Z(\omega):=\omega \end{eqnarray*}$ definieren und als Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ die Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F_Z \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ ansehen. Genau das habe ich im letzten Teil des vorigen Beitrages getan.

P.S.: Es steht immer noch die Definition der eigentlichen, problembezogenen Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ auf der Basis dieses Wahrscheinlichkeitsraumes aus - nicht vergessen!

08.11.2013, 15:55

Hilfloser4

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Aber laut meiner Aufgabenstellung muss ich doch nur den W´raum angeben oder habe ich da etwas falsch verstanden?

Wir hatten letzte Woche auch eine Aufgabe, bei der wir den W´raum bestimmen mussten, da war die Lösung auch durch die Bestimmung von Omega, der Sigma-Algebra und dem W´maß P "gegeben". Wir mussten keine weitere Zufallsgröße definieren.

08.11.2013, 16:01

HAL 9000

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Die Aufgabenstellung

Zitat:

Original von Hilfloser4
Beschreiben Sie das Experiment durch einen geeigneten W´raum.

ist da vielleicht nicht ganz deutlich. Allerdings liegt der Fokus auf Experiment, es steht also nicht nur da

Zitat:

Original von Hilfloser4
Beschreiben Sie einen geeigneten W´raum für das Experiment.

Wenn auch nur 20% Wahrscheinlichkeit besteht, dass der Aufgabensteller auch das X da gern eingebettet sehen würde, meinst du nicht auch, dass man dann nicht feilschen, sondern schlicht die eine Zeile noch mit hinschreiben sollte?

Ok, zumindest ich bin dieser Auffassung. smile

08.11.2013, 16:16

Hilfloser4

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Das Argument versteh ich durchweg, aber wie definiere ich meine Zufallsgröße X dann? Wir sind momentan noch ziemlich am Anfang von Zufallsvariablen in der Vorlesung und haben noch nicht sooo viel mit denen gearbeitet, daher meine Verwirrung, weil eigentlich dürfte das ja ein relativ einfaches Thema sein. verwirrt

08.11.2013, 16:49

Hilfloser4

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Zitat:

Im allgemeinen Fall beschreibt man $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ durch Angabe der Werte $\begin{eqnarray*} P(A) \end{eqnarray*}$ für zumindest alle $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ aus einem Erzeugenden-System von $\begin{eqnarray*} \mathcal{F} \end{eqnarray*}$ .

Das heißt für P würde ich dann schreiben:

P(X), wobei $\begin{eqnarray*} X \in \mathcal{F} \end{eqnarray*}$

und dann müsste ich noch sagen, wie X definiert ist, im Sinne von $\begin{eqnarray*} X:\;\Omega\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Wäre das dann $\begin{eqnarray*} X:\;\Omega\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , wobei
$\begin{eqnarray*} \omega:\; \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)\to \tan(\omega)*l \end{eqnarray*}$

Du hattest ja gemeint, das wäre Trigonometrie, ich habe mir die Situation mal aufgemalt und bin zu dem Ergebnis gelangt.
Oder habe ich gerade Sachverhalte durcheinander geworfen?

08.11.2013, 17:35

HAL 9000

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Zitat:

Original von Hilfloser4
Wäre das dann $\begin{eqnarray*} X:\;\Omega\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , wobei
$\begin{eqnarray*} \omega:\; \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)\to \tan(\omega)*l \end{eqnarray*}$

Exakt.

08.11.2013, 18:10

Hilfloser4

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Stimmt das W´maß auch? Steht weiter oben in meinem Beitrag von eben.
Ich habe eben in meine Unterlagen wegen der Notation geschaut und gemerkt, dass das

Zitat:

Das heißt für P würde ich dann schreiben:

P(X), wobei $\begin{eqnarray*} X \in \mathcal{F} \end{eqnarray*}$

ja Blödsinn ist.

Wenn müsste das lauten
$\begin{eqnarray*} P(X\in \mathcal{F}) \end{eqnarray*}$

nur was ist das dann? Da muss ja dann noch ein "=" ... hin?

08.11.2013, 18:41

HAL 9000

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Zunächst mal würde ich derartige Ereignisse wegen der Verwechslungsgefahr zur hier schon $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ benannten Zufallsgröße anders nennen, z.B. wie ich oben $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ :

Es heißt tatsächlich einfach $\begin{eqnarray*} P(A) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} A\in\mathcal{F} \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Du bist aber ganz schön wacklig in den Begriffen. Das ist nicht gut, denn wenn es dort schon hakt, dann wird es bei den wirklich inhaltlich schwierigen Dingen dann problematisch.

08.11.2013, 20:43

Hilfloser4

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Ja da hast du recht, die Begriffe sitzen noch nicht ganz, aber die werde ich demnächst alle komplett mal lernen.

Danke für deine Hilfe!

14.11.2013, 18:53

Matz1000

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Hallo HAL 9000

ich habe so eine ähnliche Fragestellung und hätte dazu nochmal eine Frage.

Fragestellung:

Ein Laserpointer ist im Abstand von 30 cm über den Nullpunkt der Zahlengeraden angebracht. Er strahl zufällig gleichverteilt in alle Richtungen, die die Gerade treffen.
Berechne die Verteilungsfunktion und die Dichtefunktion für den Abstand t vom Nullpunkt, wo der Strahl auftrifft.
Wie können Sie ein t simulieren, das durch diese Verteilung erzeugt ist, wenn für Sie ein gleichverteiltes x Element [0,] verfügbar ist.

So meine Frage ist nun, hier muss ich ja das offene Intervall wählen für Omega.
Genau wie ihr es schon gemacht habt.
Die Verteilungsfunktion und Dichtefunktion für meine Aufgabe müsste eigendlich die gleiche sein, wie du sie schon aufgestellt hast.
Jedoch Frage ich mich wo kann ich meine 30 cm Abstand von der Zahlengeraden einbauen.
Oder kann ich dies bei der Aufstellung der Verteilungsfunktion und Dichtefunktion vernachlässigen?

LG

Matz

14.11.2013, 18:59

HAL 9000

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ohne Worte

Zitat:

Original von Hilfloser4
Ein schwenkbarer Laserpointer sei im Abstand l über einem Schirm angebracht.

14.11.2013, 19:20

Matz1000

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ja das habe ich schon gelesen.

ahhh also um die Verteilungsfunktion aufstellen zu können, brauche ich diese 30 cm erstmal nicht. Hammer

aber kannst du vielleicht kurz nochmal ein paar worte dazu sagen, wie du auf die Verteilungsfunktion gekommen bist?

Mir ist kla, das wenn $\begin{eqnarray*} x\geq \pi /2 \end{eqnarray*}$ ist 1 und $\begin{eqnarray*} x\leq -\pi /2 \end{eqnarray*}$ .

Jedoch wie kommt du auf den Term 1/2+ x/Pi

Dies ist mir nicht sofort ersichtlich.

14.11.2013, 19:23

HAL 9000

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Zitat:

Original von Matz1000
ahhh also um die Verteilungsfunktion aufstellen zu können, brauche ich diese 30 cm erstmal nicht.

Doch, brauchst du schon: Schließlich geht dieser Abstand $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ in die Definition der Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ein, und damit auch mittelbar in dessen Verteilungsfunktion!

14.11.2013, 19:40

Matz1000

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Zitat:

diesen Teil habe ich Verstanden, wie man darauf kommt. In meinem Fall wäre das l= 30cm.

Ich verstehe leider nicht, wie man die Verteilungsfunktion aufstellt.

Den in unser Vorlesung/ Übung haben wir keine verständlichen Beispiele dazu gemacht.

14.11.2013, 19:54

HAL 9000

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Für alle reellen $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ist gemäß Definition der Verteilungsfunktion

$\begin{eqnarray*} F_X(t) := P(X \leq t) = P(l\tan(\omega) \leq t) = P\left( \tan(\omega) \leq \frac{t}{l} \right) = P\left( \omega \leq \arctan\left( \frac{t}{l} \right) \right) = P\left( \left( -\infty, \arctan\left( \frac{t}{l} \right) \right]\right) \end{eqnarray*}$ ,

alles unter dem P(...) sind äquivalente Ungleichungsumformungen. Das Wahrscheinlichkeitsmaß $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ ist weiter oben im Thread beschrieben worden: Einsetzen, fertig.

14.11.2013, 20:25

Matz1000

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ahhh es macht etwas klick.

aber noch nicht entgültig.

Ich hänge gerade an dem Punkt:

Zitat:

Die Verteilungsfunktion dieses Gleichverteilungsmaßes ist hier dann einfach

$\begin{eqnarray*} F(x) = P((-\infty,x]) = \begin{cases} 0 & \;\mbox{für}\; x \leq -\frac{\pi}{2} \\ \frac{1}{2} + \frac{x}{\pi} & \;\mbox{für}\; -\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} \\ 1 & \;\mbox{für}\; x \geq \frac{\pi}{2} \end{cases} \end{eqnarray*}$

mit zugehöriger Dichte

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\pi} & \;\mbox{für}\; -\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} \\ 0 & \;\mbox{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

wie kommst du auf die 1/2+x/Pi ?

Ich muss ja die Bed. abarbeiten, dass F monoton steigend ist, F rechtsseitig steig und
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty } F(x)=0 und \lim_{x \to \infty } F(x)=1 \end{eqnarray*}$

Du hattest ja in einem vorrigen Beitrag das erwähnt:

Zitat:

hat es was damit zu tun und wenn ja was?

14.11.2013, 20:28

Matz1000

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ahhhh, ich habe eine idee.

kann es damit zusammen hängen, dass du den für x=-Pi/2 gleich 0 rausbekommen willst und für x=Pi/2 gleich 1 rausbekommen willst und um diese beiden bedingungen zu erfüllen, suchst du dir eine Funktion die das tut und das ist genau 1/2+x/Pi...?

14.11.2013, 20:30

HAL 9000

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Ja klar, es steht doch weiter oben schon da, dass $\begin{eqnarray*} \Omega = \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \end{eqnarray*}$ , d.h. der Winkelbereich des Strahls.

Zitat:

Original von Matz1000
kann es damit zusammen hängen, dass du den für x=-Pi/2 gleich 0 rausbekommen willst und für x=Pi/2 gleich 1 rausbekommen willst und um diese beiden bedingungen zu erfüllen, suchst du dir eine Funktion die das tut und das ist genau 1/2+x/Pi...?

Das ist nun mal so bei der stetigen Gleichverteilung, dass zwischen Anfangs- und Endpunkt eine lineare Verteilungsfunktion vorliegt. Da "sucht" man nicht, das ergibt sich folgerichtig ohne die Willkür, die aus deinen Worten mitschwingt. Augenzwinkern

14.11.2013, 20:37

Matz1000

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oki super danke... smile

mein Problem ist es, das ich genau diese Bedingungen nicht parat habe die ich gerade brauche wie z.B.

Zitat:

14.11.2013, 20:43

HAL 9000

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Mal ein wenig selber die Zusammenhänge erkunden, statt ständig zu raten bzw. um Verständnis nachfragen:

Setze doch $\begin{eqnarray*} A=\left(-\frac{\pi}{2},x\right] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Omega=\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \end{eqnarray*}$ in die Definition der Gleichverteilung ein:

$\begin{eqnarray*} P(A) = \frac{\lambda(A)}{\lambda(\Omega)} \end{eqnarray*}$ ,

das ergibt mit Längenmaß $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P\left( \left(-\frac{\pi}{2},x\right] \right) = \frac{\lambda\left( \left(-\frac{\pi}{2},x\right] \right)}{\lambda\left(\left( -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\right)} = \frac{x-\left(-\frac{\pi}{2}\right)}{\frac{\pi}{2}-\left(-\frac{\pi}{2}\right)} = \frac{x+\frac{\pi}{2}}{\pi} = \frac{x}{\pi} + \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

14.11.2013, 20:45

Matz1000

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Zitat:

Original von HAL 9000
Für alle reellen $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ist gemäß Definition der Verteilungsfunktion

$\begin{eqnarray*} F_X(t) := P(X \leq t) = P(l\tan(\omega) \leq t) = P\left( \tan(\omega) \leq \frac{t}{l} \right) = P\left( \omega \leq \arctan\left( \frac{t}{l} \right) \right) = P\left( \left( -\infty, \arctan\left( \frac{t}{l} \right) \right]\right) \end{eqnarray*}$ ,

ich habe nochmal eine Kurze Frage zu diesem Beitrag.

Du verwendest hier ein Buchstaben t.
Ist er frei von dir gewählt oder bezieht er sich auf meine Aufgabe?

Den ich hatte ein kleines t bei mir verwendet um dies aufzustellen:

$\begin{eqnarray*} \tan(w) =\frac{t}{l} \Rightarrow t= \tan(w)*l \end{eqnarray*}$

14.11.2013, 20:47

HAL 9000

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Dumme Frage
Wenn dir $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ als Funktionsargument nicht gefällt, dann nenne es $\begin{eqnarray*} Matz1000 \end{eqnarray*}$ - das ist doch sowas von egal. unglücklich

14.11.2013, 21:02

Matz1000

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ok, also wenn ich nun alle x durch arctan a/l ersetze habe ich die zu der Aufgabe gehörige Verteilungsfunktion.

Jedoch ist dort noch ein zweiter Teil bei der Aufgabe, jedoch weiß ich nicht was man dort genau machen muss.

Aufgabe:

Wie können Sie ein t simulieren, das durch diese Verteilung erzeugt ist, wenn für Sie ein gleichverteiltes $\begin{eqnarray*} x\in \left[0,1\right] \end{eqnarray*}$ verfügbar ist.

14.11.2013, 21:23

HAL 9000

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1.Durch welche Transformation kommst du von einem gleichverteilten $\begin{eqnarray*} x\sim U(0,1) \end{eqnarray*}$ zu einem gleichverteilten $\begin{eqnarray*} \omega\sim U\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \end{eqnarray*}$ ?

2.Wie du von $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ zur eigentlichen Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ kommst, steht oben:

$\begin{eqnarray*} X(\omega) = l\cdot \tan(\omega) \end{eqnarray*}$

P.S.: Ich verwende weiter die Bezeichnungen, die hier im Thread nun mal eingeführt wurden (also X statt t), der Kontinuität wegen - du bist neu hinzugekommen und solltest dich da anpassen!

14.11.2013, 21:48

Matz1000

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Also da ich erstmal garnicht wusste was ich machen muss, habe ich einfach die Begriffe gegooglt, den so kamen sie noch nicht in der Vorlesung vor.

Ich bin auf diesen Satz gestoßen:

Die so genannte Inversionsmethode nutzt die Inverse der stetigen Verteilungsfunktion F(x) und transformiert die gleichverteilten Zufallszahlen u_1,...,u_n gemäß x_v=F^-1(u_v).

Heißt das, ich muss die Umkehrfunktion ermitteln und dafür die Grenzen zwischen 0 und 1?

14.11.2013, 22:02

HAL 9000

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Du kannst natürlich auch ganz grundsätzlich nach der Inversionsmethode vorgehen, aber das ist prinzipiell auch nichts anderes, als das was ich gerade geschrieben hatte.

16.11.2013, 14:06

Matz1000

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ok, ich habe jetzt etwas gerechnet und wollte mal fragen, ob die überlegung richtig ist.

Meine Verteilungsfunktion sieht nun so aus:

$\begin{eqnarray*} F(arctan (t/l)) = P((-\infty,arctan (t/l)]) = \begin{cases} 0 & \;\mbox{für}\; arctan (t/l) \leq -\frac{\pi}{2} \\ \frac{1}{2} + \frac{arctan (t/l)}{\pi} & \;\mbox{für}\; -\frac{\pi}{2} \leq arctan (t/l) \leq \frac{\pi}{2} \\ 1 & \;\mbox{für}\; arctan (t/l) \geq \frac{\pi}{2} \end{cases} \end{eqnarray*}$

mit zugehöriger Dichte

$\begin{eqnarray*} f(arctan (t/l)) = \begin{cases} \frac{1}{\pi} & \;\mbox{für}\; -\frac{\pi}{2} \leq arctan (t/l) \leq \frac{\pi}{2} \\ 0 & \;\mbox{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$

Ich habe hier einfach nur den x-Wert durch arctan (t/l) ersetzt.

t ist in diesem Fall das Funktionsargument, was du oben schon bei $\begin{eqnarray*} P((-\infty,arctan (t/l)]) \end{eqnarray*}$ verwendet hast.

Ich hoffe mal bis hier sollte es stimmen.

So nun zum zweiten Teil, die Transformation.

Da ich ja F^-1 herausfinden soll, habe ich einfach mir erstmal die Allgemeine Form hergenommen:

$\begin{eqnarray*} F(x)=1/2+x/\pi \end{eqnarray*}$

dies habe ich umgestellt zu $\begin{eqnarray*} y=1/2+x/\pi \Rightarrow x=(y-1/2)*\pi \end{eqnarray*}$

da aber x= arctan(t/l) war habe ich einfach das x ersetzt durch den gerade erwähnten Term.

Meine Frage ist nun ob

$\begin{eqnarray*} arctan(t/l)=(y-1/2)*\pi \end{eqnarray*}$

der entgültige Term ist?

Den wenn ich für y Werte zwischen 0 und 1 einsetze muss eine Zahl herauskommen, die zwischen -Pi/2 und Pi/2 liegt.

20.11.2013, 19:26

Lula90

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Hab das mit dem simulierten t auch nicht verstanden... Kann keiner helfen?

20.11.2013, 19:42

HAL 9000

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Was für ein Schlamassel, seit ich das letzte mal hier reingeschaut habe. unglücklich

Zitat:

Original von Matz1000
Meine Verteilungsfunktion sieht nun so aus:

$\begin{eqnarray*} F(arctan (t/l)) = P((-\infty,arctan (t/l)]) = \begin{cases} 0 & \;\mbox{für}\; arctan (t/l) \leq -\frac{\pi}{2} \\ \frac{1}{2} + \frac{arctan (t/l)}{\pi} & \;\mbox{für}\; -\frac{\pi}{2} \leq arctan (t/l) \leq \frac{\pi}{2} \\ 1 & \;\mbox{für}\; arctan (t/l) \geq \frac{\pi}{2} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Der $\begin{eqnarray*} \arctan \end{eqnarray*}$ nimmt nur Werte im Intervall $\begin{eqnarray*} \left( -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right) \end{eqnarray*}$ , also kommen die beiden Fälle oben und unten gar nicht vor. Es ist also einfach

$\begin{eqnarray*} F_X(t) = P(X\leq t) = P\left( \left( -\infty, \arctan\left( \frac{t}{l} \right) \right] \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \arctan\left( \frac{t}{l} \right) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} t\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Die nachfolgende Dichte ist natürlich falsch - es ist schlicht und einfach nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ abzuleiten:

$\begin{eqnarray*} f_X(t) = F_X'(t) = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{1}{1+\frac{t^2}{l^2}} \cdot \frac{1}{l} = \frac{l}{\pi(l^2+t^2)} \end{eqnarray*}$

Aber diese Dichte braucht man ja gar nicht für die Inversionsmethode.

Die Inversionsmethode bei einer stetigen, streng monotonen Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F_X \end{eqnarray*}$ (wie sie hier glücklicherweise vorliegt) sieht nun einfach so aus:

Der simulierte Wert $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ergibt sich aus einem $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ -gleichverteilten Wert $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ durch Lösung der Gleichung $\begin{eqnarray*} u = F_X(t) \end{eqnarray*}$ , das wäre dann $\begin{eqnarray*} t = F_X^{-1}(u) \end{eqnarray*}$ .

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