Knifflige Aufgabe bei Anwendung von Differentialrechnung

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Gurkensalat Auf diesen Beitrag antworten »
Knifflige Aufgabe bei Anwendung von Differentialrechnung
Hallo Augenzwinkern

Ich habe ein Problem mir einer Aufgabe bzw. ich komme nicht weiter.

Zunächst die Aufgabenstellung:
Eine Firma stellt oben offene Regentonnen her. Diese sollen bei gegebenem Materialbedarf maximal Volumen besitzen. Wie sind die Abmessungen zu wählen, wenn 2 Quadradmeter Material pro Tonne zur Verfügung stehen?

Meine Rechnung: ( im Voraus SORRY für die verwirrende Darstellung der Gleichungen, auf iPad ist es etwas schwerer ordentlich zu schreiben)

Hauptbedingung: Vmax = pi r^2 h
Nebenbedingung: Ao = 2 = 2 pi r h + pi r^2 (Mantelfläche plus eine Grundfläche des Zylinders bzw der Tonne)

Zielfunktion:
Vmax = pi r^2 * ((2-pi r^2)/(2 pi r)) (= Ao )
Kürzen, auf die andere Seite bringen...
Vmax = r - 0,5pi r^3 -> jetzt Ableitungen bilden
V'max = 1-1,5pi r^2
V''max = -3pi

So. Dann erste Ableitung nehmen, Null setzen um Nullstellen zu bekommen:
0 = 1-1,5pi r^2
2/3pi = r^2
Nullstelle 1: 0,46
Nullstelle 2: entfällt, da kleiner als 0

Mit 0,46 haben wir dann den Radius in Metern. Eingesetzt in die h-Formel: (2-pi r^2)/(2pi r) kommt für h ebenfalls 0,46 Meter raus.

Soweit müsste alles richtig sein. Nun aber zu meiner eigentlichen Frage: da ja der "Boden" der Tonne in der Realität aus einem Quadrat ausgeschnitten werden muss, wo etwas Abfall übrig bleibt, müsste man da ja komplett anders rechnen. Sprich anstelle des Kreises für die Grundfläche ein Quadrat.

Hier bekomm ich aber irgendwie nur komisches Zeugs raus, ich habe anstatt pi r^2 für die Kreisfläche 2r^2 eingesetzt ...kann mir da jemand helfen? Ich wäre sehr dankbar!

MfG...
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Knifflige Aufgabe bei Anwendung von Differentialrechnung - brauche Hilfe
Zunächst: Deine Rechnung ist richtig. Freude

Allerdings hast du hier ein r vergessen:
Zitat:
V''max = -3pi


Die Textaufgabe ist mit Sicherheit so zu verstehen, dass die 2 m² das verwendete Material sind. Den Verschnitt müssen wir nicht berücksichtigen.

Wenn du willst, kannst du die Aufgabe natürlich auch für einen Quader ausrechnen, dann sieht die Rechnung etwas anders aus.

Der Fehler bei deiner Proberechnung mag sein, dass (2r)² = 4r² sind und nicht 2r². Augenzwinkern

smile
Gurkensalat Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal danke für die Antwort, aber die gestellte Aufgabe sieht tatsächlich so aus, dass "realistisch" gerechnet werden muss, sprich die Kreisgrundfläche aus einem Quadrat ausgeschnitten.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Knifflige Aufgabe bei Anwendung von Differentialrechnung
Bist du dir da wirklich sicher? Ich meine, es ist ja nicht bekannt, welche Maße das Ausgangsmaterial hat und welchen Verschnitt wir dann tatsächlich haben. Insofern ist es eigentlich unsinnig, hier nicht mit der gebrauchten Fläche zu arbeiten.
verwirrt

Aber gut, wenn du mit dem Quadrat rechnen möchtest, dann musst du wie oben gesagt die 4r² für die Grundfläche wählen.

smile


PS: Ich werde das Vollzitat aus deinem Beitrag entfernen.
Gurkensalat Auf diesen Beitrag antworten »

[attach]32040[/attach]

Ich komme jetzt hier nicht weiter. Kann mir da jemand helfen? Ich muss ja nach r umstellen um den Radius rauszubekommen...

edit von sulo: Grafik als verkleinterten Dateianhang hochgeladen, Tippfehler entfernt.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

HB und NB stimmen. Freude

Bei h kannst du noch kürzen und bei der ZF ist dir einiges durcheinander geraten. Denke da noch mal drüber nach.

smile
 
 
Gurkensalat Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich hab h jetzt gekürzt auf -4r/pi

Und die ZF müsste dann ja sein: -16r^3/pi.

Edit: sulo könntest du mir vielleicht zu der Zielfunktion verhelfen? Um den Rest hinzubekommen brauch ich die ja und ich bekomm diese ZF nicht so richtig auf die Reihe... Obwohl die Hauptaufgabe ja richtig war traurig
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gurkensalat
Also ich hab h jetzt gekürzt auf -4r/pi

Das ist nicht korrekt, denn wenn du den Bruch jetzt wieder mit 2 erweiterst, erhältst du nicht mehr den ursprünglichen Bruch.

Beachte: 2 = 1·2 Augenzwinkern


Zitat:
Original von Gurkensalat
Und die ZF müsste dann ja sein: -16r^3/pi.

Nein.

Es galt: Vmax = pi·r²·h
Jetzt ersetzt du das h.
Wo bleibt das pi? Augenzwinkern
Gurkensalat Auf diesen Beitrag antworten »

Ich Idiot! Falsche Formel genommen... So hab jetzt r^2 -2r^3 für die ZF, müsste richtig sein oder?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Fast.

Überprüfe nochmal das r². Augenzwinkern
Gurkensalat Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, aber ich find den Fehler nicht.

Vmax = Pi r^2 h

= Pi r^2 * (2-4r)/(2pi)

= (2r^2 - 4r^3) /2

= r^2 - 4r^3
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

[attach]32042[/attach]

Da kannst du nicht einfach das r wegkürzen. Vielmehr kann die 2 weggekürzt werden. Augenzwinkern
Gurkensalat Auf diesen Beitrag antworten »

[attach]32043[/attach]
Hab jetzt nochmal alles durchgerechnet ohne die h-Formel weiter zu kürzen. Ich hoffe es stimmt soweit
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe die Grafik wieder direkt hier hochgeladen, externe Hosts halten sie nicht lange bereit. Augenzwinkern

Keine Einwände, es ist alles richtig. Freude

(Ich habe etwas anders gerundet.)
Gurkensalat Auf diesen Beitrag antworten »

Hehe super Augenzwinkern

Vielen Dank auch für den Support smile
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gurkensalat
Ich Idiot! Falsche Formel genommen... So hab jetzt r^2 -2r^3 für die ZF, müsste richtig sein oder?


Und jetzt ist auch klar, was ich meinte: Die ZF musste lauten: V(r) = r - 2r³. Augenzwinkern



Gern geschehen. Wink
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