Summe ohne TR berechnen

07.11.2013, 19:36

drrr

Summe ohne TR berechnen

Meine Frage:
Berechne
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{10}(-1)^{(k+1)}* \frac{1}{2^{k}} \end{eqnarray*}$
mit Hilfe der Summenformel und ohne Taschenrechner!

Meine Ideen:
wenn ich das einzeln ausrechne, kommt da
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}- \frac{1}{4} + \frac{1}{8} \end{eqnarray*}$ ...
also immer abwechselnd + und -
und unten immer $\begin{eqnarray*} 2^{k} \end{eqnarray*}$
aber ich weiß nicht, wie ich das alles zusammenfassen soll, damit ich das auch ohne Taschenrechner ausrechnen soll...

07.11.2013, 19:45

adiutor62

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RE: Summe ohne TR berechnen?
Ich würde alles auf den Hauptnenner 2^10 =1024 bringen.

07.11.2013, 19:52

drrr

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aber dann müsste ich das ja alles per Hand einzeln zusammen rechnen, unser prof meinte, dass man das nicht einfach so zusammen rechnen soll, sondern dass es immer irgendwelche Möglichkeiten gibt, das einfacher zu machen (das haben auch die zwei vorherigen teilaufgaben bewiesen)

07.11.2013, 19:56

HAL 9000

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Die Potenzen im Summanden geeignet zusammengefasst lässt sich erkennen, dass das die Partialsumme einer geometrischen Reihe ist.

07.11.2013, 20:02

Christian_P

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Hi

man kann so umformen.

$\begin{eqnarray*} (-1)^{(k+1)}\frac{1}{2^{k}} = (-1)(-1)^k \left(\frac{1}{2}\right)^k = (-1)\left( -\frac{1}{2}\right)^k \end{eqnarray*}$

Die Kostante -1 kann man dann aus der Summe ziehen und sieht dann die geometrische Reihe mit q = -1/2.

Gruß

07.11.2013, 20:02

adiutor62

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Ob das wirklich schneller geht, wage ich bei diesen einfachen Zahlen zu bezweifeln, auch wenn Hal natürlich ein sinnvolles Verfahren anspricht. Wink

07.11.2013, 20:13

drrr

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ist das dann
$\begin{eqnarray*} (-1)*[\frac{(-0,5)-(-0,5)^{10+1}}{1-(-0,5)} ] \end{eqnarray*}$
??
aber das könnte ich jetzt auch nicht / nur schwer ohne TR ausrechnen... aber das geht wahrscheinlich nicht einfacher, oder?

07.11.2013, 20:24

HAL 9000

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Tja, wenn man keine Bruchrechnung mehr gewohnt ist... Ich hätte es eher als

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \cdot \frac{1-\frac{1}{2^{10}}}{1+\frac{1}{2}} = \frac{1}{3}\cdot \frac{2^{10}-1}{2^{10}} \end{eqnarray*}$ ,

und die Zweierpotenzen kennt "man" natürlich bis zu einem gewissen Grade auswendig ( Big Laugh

), zumindest bis $\begin{eqnarray*} 2^{10}=1024 \end{eqnarray*}$ .

07.11.2013, 20:39

drrr

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haha, ich würd das aber in der Klausur trotzdem nicht ausrechnen können....

könnt ihr mir noch mal bei einer anderen Aufgabe helfen?
ich hab diesmal

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^9 \begin{pmatrix} 9 \\ k \end{pmatrix} * (-1)^{k} * (0,5)^{k} \end{eqnarray*}$

kann ich das irgendwie nach den binomischen Lehrsatz umformen?
weil der sieht ja ganz ähnlich aus, nur dass da beim letzten Produkt nicht hoch k sondern 9-k hätte stehen müssen...

07.11.2013, 20:42

drrr

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kommt da vielleicht -19683/512 raus?

07.11.2013, 20:45

drrr

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ups, ich meinte 1/512

07.11.2013, 20:49

HAL 9000

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