DGL 1. Ordnung: y´= e^x * y^3

07.11.2013, 21:33

Hawk87

DGL 1. Ordnung: y´= e^x * y^3

Meine Frage:
Hi Leute

ich habe bei einer DGL Probleme und komme leider nicht weiter.
Die DGL lautet:

y`= e^x * y^3

Die Aufgabenstellung:

a) Bestimmen Sie die Lösung des AWPs. y(0)=1

b) Geben Sie den Definitionsbereich der Lösung an.

c) Ist die Lösung dieses AWP´s eindeutig? Begründen Sie Ihre Antwort.

Meine Ideen:

zu a)

y`= e^x * y^3

dy/dx = e^x * y^3

1/y^3 *dy = e^x dx ( davon jeweils das integral)

-1/2*y^2 = e^x +c ( ab hier weiss ich nicht wie ich voran gehen soll)

ich übersehe irgendwas elementares aber weiss leider nicht was

07.11.2013, 21:48

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Da Du y suchst solltest Du auch danach umformen.

07.11.2013, 21:48

grosserloewe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: DGL 1. Ordnung: y´= e^x * y^3
Wink

Bis dahin stimmt es.

Jetzt stelle die Gleichung nach y um und setze dann

für x= 0 und y= 1 ein.

08.11.2013, 10:43

Hawk87

Auf diesen Beitrag antworten »

ok habe ich gemacht

und jetzt bekomme ich

$\begin{eqnarray*} y =\sqrt{ -\frac{1}{2} *\frac{1}{e^x+c}} \end{eqnarray*}$

y(0) = 1 eingesetzt in die gleichung bekomme

ich für c = -3/2

$\begin{eqnarray*} y =\sqrt{ -\frac{1}{2} *\frac{1}{e^x-3/2}} \end{eqnarray*}$

a ist somit fertig

Bei b würde ich jetzt die Nullstelle des Nenners ermitteln damit nicht 1/0 kommt

0 = e^x-1,5 nach x umgestellt wäre das

x = ln(1,5) = 0,4055 x darf also nicht 0,4055 werden

anschließend würde ich ermitteln wollen, dass der Inhalt der Wurzel nicht negativ sein darf

also

$\begin{eqnarray*} 0< -\frac{1}{2} *\frac{1}{e^x-3/2} \end{eqnarray*}$

umgeformt erhalte ich

$\begin{eqnarray*} e^x -1,5 > 0,5 \end{eqnarray*}$

nach x aufgelöst kommt

$\begin{eqnarray*} x > ln2 = 0,6931 \end{eqnarray*}$

D= ( xER | x > 0,6931) ist die schreibweise so richtig

und c ) weiss ich leider nicht wie ich rangehen soll, da ich den EE-Satznicht richtig verstehe und anwenden kann.

Könnte mir jmd das erklären

08.11.2013, 11:46

etzwane

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

umgeformt erhalte ich

$\begin{eqnarray*} e^x -1,5 > 0,5 \end{eqnarray*}$

Diese Umformung ist nicht richtig.

08.11.2013, 12:02

grosserloewe

Auf diesen Beitrag antworten »

a) stimmt

b) stimmt nicht , rechne nochmal

c) Es gibt noch eine 2. negative Lösung , die aber herausfällt
Damit ist c umrissen.

$\begin{eqnarray*} y^{2} \end{eqnarray*}$
hat 2 Lösungen

08.11.2013, 16:24

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von grosserloewe
c) Es gibt noch eine 2. negative Lösung , die aber herausfällt

Hier sollte tatsächlich der Existenz- und Eindeutigkeitssatz angewandt werden anstatt bloß festzustellen, dass aus der berechneten Familie von Lösungen nur eine Funktion das AWP löst.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} y^{2} \end{eqnarray*}$
hat 2 Lösungen

Die Gleichung $\begin{eqnarray*} y^2=\frac1{-2c-2\mathrm e^x} \end{eqnarray*}$ hat zwei Lösungen.

09.11.2013, 18:43

Hawk87

Auf diesen Beitrag antworten »

ups bei b) habe ich mich vertippt es sollte

$\begin{eqnarray*} e^x -1,5 < 0,5 \end{eqnarray*}$

heißen.

$\begin{eqnarray*} x < ln(2) = 0,6931 \end{eqnarray*}$

Der Definitionsbereich wäre dann D= ( xER | x < 0,6931) wobei x= 0,4055 n.d ist und somit ungleich sein muss.

c) ok die Aufgabe hat zwei Lösungen jedoch weiss ich wirklich nicht weiter sorry tut mir leid dieser EE-Satz leuchtet mir einfach nicht ein.

10.11.2013, 22:59

grosserloewe

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Eindeutigkeit der Lösung wird durch Picard-Lindelöf nachgewiesen.
Das heißt, die Lösung muß stetig und differenzierbar sein.
Da die Lösung aber für

$\begin{eqnarray*} x= ln \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

nicht stetig ist (Satz von Peano) , ist auch die Lösung nicht eindeutig.

Du kannst außerdem das Lipschitz - Kriterium nehmen und kommst damit auf das gleiche Ergebnis.(betreffs Stetigkeit)

EDIT:
WICHTIGER NACHTRAG:

JA hier ist mir ein Fehler passiert, es geht natürlich um die rechte Seite und
NICHT um die Lösung .

Danke Che

11.11.2013, 06:23

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von grosserloewe
Das heißt, die Lösung muß stetig und differenzierbar sein.

Da verwechselst du etwas. Nicht die Lösung muss irgendetwas besonderes können, sondern die rechte Seite der Differentialgleichung.

Zitat:

Da die Lösung aber für

$\begin{eqnarray*} x= ln \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

nicht stetig ist (Satz von Peano) , ist auch die Lösung nicht eindeutig.

An der Stelle ist die berechnete Lösung gar nicht definiert. Und sowieso sind (klassische) Lösungen von Differentialgleichungen immer differenzierbar, da sie ja eine DGL erfüllen müssen.

Ganz wichtig ist jedenfalls: Nur weil die Voraussetzungen eines Existenz- und Eindeutigkeitssatzes nicht erfüllt sind, heißt das nicht, dass Existenz und Eindeutigkeit gar nicht vorliegen.

Neue Frage »

Antworten »

DGL 1. Ordnung: y´= e^x * y^3

Verwandte Themen