Gradient Kettenregel

07.11.2013, 21:58	Lomex	Auf diesen Beitrag antworten »
Gradient Kettenregel Meine Frage: Hallo, ich habe hier eine Aufgabe und stehe total auf dem Schlauch: Meine Ideen: Ich habe zuerst f1 abgeleitet, was ja e^z wäre. f2 abgeleitet ist ja (y,x)^T wie kann ich denn den Gradienten mithilfe der Kettenregel bekommen? Ich weiß, dass die Formel für die Kettenregel grad (f°g)= (f'°g)grad g wäre. Bezogen auf mein Beispiel also (f1'°f2)grad f2. liege ich da richtig? Ich weiß aber nicht, wie ich zwei Funktionen unterschiedlicher Dimension miteinander verkette. Und wie ich das rechnen soll. Habe leider im Internet keine passenden Beispiel gefunden. Vllt. habe ich aber auch einfach nur falsche Suchwörter eingegeben. Würde mich freuen, wenn mir jemand einen Denkanstoß geben könnte. Vielen Dank!
08.11.2013, 10:54	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Unter der Verkettung zweier Funktionen $\begin{eqnarray} f_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_2 \end{eqnarray}$ versteht man die neue Funktion $\begin{eqnarray} f_1 \circ f_2=f_1(f_2) \end{eqnarray}$ . Der Gradient einer verketteten Funktion wird mit der Kettenregel berechnet: $\begin{eqnarray} \nabla f_1(f_2)=\frac{df_1}{df_2}\cdot \nabla f_2 \end{eqnarray}$ In deinem Falle ist speziell $\begin{eqnarray} f_1=e^{f_2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_2=xy \end{eqnarray}$ . Setze beides in die Kettenregel ein und berechne den Gradienten $\begin{eqnarray} \nabla f_1(f_2)=\frac{de^{f_2}}{df_2} \cdot \nabla (xy) \end{eqnarray}$ Anschließend sollst du den Gradienten der verketteten Funktion $\begin{eqnarray} f_2(f_1)=e^{f_1}=e^{xy} \end{eqnarray}$ direkt berechnen, also $\begin{eqnarray} \nabla e^{xy} \end{eqnarray}$ . Beide Ergebnisse müssen übereinstimmen.
08.11.2013, 18:28	Lomex	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Ehos, vielen Dank für deine Antwort. Also...mit deinem Tipp bin ich nun auf folgendes gekommen: grad f1 (f2) = df1/df2 * grad f2 = e^xy *(y,x) und der direkte Weg: grad f1°f2 = grad e^xy = (ye^xy, xe^xy) = e^xy (y,x) ist das richtig? wäre das alles? dann wäre man ja ziemlich schnell fertig. darf ich vllt. noch fragen, wieso in der Aufgabenstellung steht, dass man zuerst die Ableitungen bzw. den Gradienten ausrechnen soll, und dann mit Hilfe der Kettenregel den Gradienten berechnen soll? Muss ich das ganze so betrachten: f1=e^z abgeleitet ist e^z, f2=xy abgeleitet ist (y,x), f2 in f1' (also f1 abgeleitet) eingesetzt ist e^xy und das mit dem Gradienten von f2 multipliziert ist dann e^xy(y,x). Ich versuche das nur allgemein zu verstehen, damit ich das auch für andere Aufgaben anwenden kann.
11.11.2013, 09:13	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Ergebnis ist richtig. Du hast gefragt, warum man in der Aufgabe zuerst die Ableitungen bzw. den Gradienten ausrechnen soll, und dann mit Hilfe der Kettenregel den Gradienten berechnen soll? Meine Antwort: Der Autor dieser Aufgabe will aus rein didaktischen Gründen, dass der Student das Ergebnis auf 2 verschiedenen Wegen berechnet. Einen sachlichen Grund gibt es für diese doppelte Arbeit nicht.

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