Evoluten - Normalengerade - Tangentengerade

08.11.2013, 10:19

Mathelehrer

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Evoluten - Normalengerade - Tangentengerade

Meine Frage:
Hallo,

bei folgender Aufgabe bräuchte ich hilfe. Vorab ich habe ANA und LA nie gehabt. Brauche aber dringend diese Veranstaltung daher auch die Aufgaben.

Ich wäre daher sehr Dankbar für jede Hilfe! Gut wäre vielleicht auch nicht nur auf Mathe zu reden, sondern auch das ganze auf deutsch zu erklären.

Aufgabe:
Es sei $\begin{eqnarray*} c: \left[a,b\right] \to \mathbb R ^{2} \end{eqnarray*}$ eine Kurve, die der Einfachheit halber nach Bogenlänge parametrisiert sei. Ferner sei n die Normale und die Krümmung erfülle $\begin{eqnarray*} \kappa(t)\neq0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \kappa'(t)\neq0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} t\in \left[a,b\right] \end{eqnarray*}$ . Die Kurve der Krümmungsmittelpunkte
$\begin{eqnarray*} e(t):= c(t) + \frac{1}{\kappa(t)} n(t) \end{eqnarray*}$
nennt man Evolute von c

a)
Zeigen Sie, dass die Normalengerade $\begin{eqnarray*} c(t) +sn(t): s\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ zu c im Punkt c(t) übereinstimmt mit der Tangentengerade an e im Punkt e(t)

b)
Zeigen Sie
$\begin{eqnarray*} L(e) = | \frac{1}{\kappa (b)} - \frac{1}{\kappa (a)} | \end{eqnarray*}$ für die Länge der Kurve e

c)
Die Kurve $\begin{eqnarray*} c(t):=(t+\sin(t),-\cos(t)), t\in \mathbb R \end{eqnarray*}$
nennt man Zykloide. Skizzieren Sie c und berechnen Sie ihre Evolute e. Zeigen Sie, dass die evolute der Zykloide wieder die Zykloide selbst ist

Meine Ideen:
zu a)
ich muss die tangentengerade von e herausbekommen und dann mit der Normalengerade gleichsetzen. richtig?
wie geht das

zu b)
???

zu c)
ich setze c(t) in e(t) ein, am ausrechnen scheiterts dann wieder...

08.11.2013, 20:23

Che Netzer

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RE: Evoluten - Normalengerade - Tangentengerade
Fangen wir mal mit a) an.

Zitat:

Original von Mathelehrer
zu a)
ich muss die tangentengerade von e herausbekommen und dann mit der Normalengerade gleichsetzen. richtig?

"Gleichsetzen" klingt komisch – als ob du nach Schnittpunkten suchen würdest. Du sollst zeigen, das beide gleich sind.

Die Tangentengerade zu einer Kurve ist ja genau wie die Normalengerade definiert (und die kannst du aus der Aufgabe ablesen); nur dass der Normalenvektor durch den Tangentialvektor ersetzt wird. Beachte, dass die Tangentengerade an $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ , nicht die an $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ gesucht wird.
Wie sähe dazu die analoge Form zu $\begin{eqnarray*} c(t)+sn(t) \end{eqnarray*}$ (mit anderer Kurve und anderem Richtungsvektor) aus und was gilt es dann noch zu berechnen?

09.11.2013, 10:06

Mathelehrer

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RE: Evoluten - Normalengerade - Tangentengerade
Der Tangentenvektor $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ ist ja die erste Ableitung ((wenn BL-Param.)<=>länge =1)?

Die Kurve ist $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$

daher wäre die gleichung $\begin{eqnarray*} e(t)+se'(t) \end{eqnarray*}$
den Normalenvektor haben wir auch so definiert $\begin{eqnarray*} n:=J\tau \end{eqnarray*}$ daher müsste $\begin{eqnarray*} \tau =J^{-1}n \end{eqnarray*}$ sein

dann kann ich das ganze zu $\begin{eqnarray*} e(t)+sJ^{-1}n(t) \end{eqnarray*}$ umschreiben

daraus folgt dann

$\begin{eqnarray*} c(t) + \frac{1}{\kappa(t)} n(t)+sJ^{-1}n(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \kappa \end{eqnarray*}$ müsste ja $\begin{eqnarray*} = \langle Jc', c''\rangle \end{eqnarray*}$ sein

also muss ich jetzt schauen, ob
$\begin{eqnarray*} c(t) + \frac{1}{\langle Jc'(t), c''(t)\rangle} n(t)+sJ^{-1}n(t) = c(t)+sn(t) \end{eqnarray*}$

09.11.2013, 10:30

Mathelehrer

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RE: Evoluten - Normalengerade - Tangentengerade
kann ich dass zu

$\begin{eqnarray*} \frac{J^{-1}\langle Jc'(t), c''(t)\rangle}{\langle Jc'(t), c''(t)\rangle} = 1 \end{eqnarray*}$

zusammenfassen?

09.11.2013, 11:16

Che Netzer

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RE: Evoluten - Normalengerade - Tangentengerade

Zitat:

Original von Mathelehrer
Der Tangentenvektor $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ ist ja die erste Ableitung ((wenn BL-Param.)<=>länge =1)?

Die normierte erste Ableitung. Die ist genau dann die erste Ableitung, wenn die Kurve nach Bogenlänge parametrisiert ist.

Zitat:

daher wäre die gleichung $\begin{eqnarray*} e(t)+se'(t) \end{eqnarray*}$

Ja, das geht trotzdem. Vielfache des Richtungsvektors stören ja nicht.
Wie sieht denn aber $\begin{eqnarray*} e'(t) \end{eqnarray*}$ aus?

09.11.2013, 11:53

Mathelehrer

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RE: Evoluten - Normalengerade - Tangentengerade
dann muss die Quotientenregel wohl doch her

$\begin{eqnarray*} e'(t)= c'(t) + \frac{n'(t)\kappa(t)-n(t)\kappa'(t)}{\kappa(t)^{2}} \end{eqnarray*}$

also:

$\begin{eqnarray*} c(t) + \frac{1}{\kappa(t)} n(t)+ c'(t) + \frac{n'(t)\kappa(t)-n(t)\kappa'(t)}{\kappa(t)^{2}} = c(t) + sn(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c(t) + \frac{1}{\langle Jc'(t), c''(t)\rangle} n(t) + c'(t) + \frac{n'(t)\langle Jc'(t), c''(t)\rangle-n(t)\langle Jc'(t), c''(t)\rangle'}{\langle Jc'(t), c''(t)\rangle^{2}} = c(t) + sn(t) \end{eqnarray*}$

wie kann ich $\begin{eqnarray*} \langle Jc'(t), c''(t)\rangle' \end{eqnarray*}$ noch schreiben??

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09.11.2013, 12:05

Mathelehrer

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RE: Evoluten - Normalengerade - Tangentengerade
ist
$\begin{eqnarray*} \langle Jc'(t), c''(t)\rangle' \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} J(\langle c''(t), c''(t)\rangle+\langle c'(t), c'''(t)\rangle) \end{eqnarray*}$

09.11.2013, 12:14

Che Netzer

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RE: Evoluten - Normalengerade - Tangentengerade

Zitat:

Original von Mathelehrer
dann muss die Quotientenregel wohl doch her

$\begin{eqnarray*} e'(t)= c'(t) + \frac{n'(t)\kappa(t)-n(t)\kappa'(t)}{\kappa(t)^{2}} \end{eqnarray*}$

Ja, und wie kannst du $\begin{eqnarray*} n' \end{eqnarray*}$ anders schreiben?

Zitat:

ist
$\begin{eqnarray*} \langle Jc'(t), c''(t)\rangle' \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} J(\langle c''(t), c''(t)\rangle+\langle c'(t), c'''(t)\rangle) \end{eqnarray*}$

Die Idee der Produktregel ist gut, aber du kannst eine Matrix nicht auf eine skalare Größe anwenden.

09.11.2013, 12:33

Mathelehrer

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RE: Evoluten - Normalengerade - Tangentengerade
$\begin{eqnarray*} n'(t)= Jc''(t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n(t)= Jc'(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e'(t)= c'(t) + \frac{Jc''(t)\kappa(t)-Jc'(t)\kappa'(t)}{\kappa(t)^{2}} \end{eqnarray*}$

ich seh aber noch nicht, wie ich das mit dem Skalarprodukt vereinfacht bekomme

09.11.2013, 13:09

Che Netzer

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RE: Evoluten - Normalengerade - Tangentengerade

Zitat:

Original von Mathelehrer
$\begin{eqnarray*} n'(t)= Jc''(t) \end{eqnarray*}$

Ich dachte eher an eine Formel, in welcher die Krümmung auftaucht.

09.11.2013, 14:30

Mathelehrer

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RE: Evoluten - Normalengerade - Tangentengerade
$\begin{eqnarray*} e'(t)= c'(t) + \frac{J\kappa(t)n(t)\kappa(t)-n(t)\kappa'(t)}{\kappa(t)^{2}} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} e'(t)= c'(t) + Jn(t)-\frac{n(t)\kappa'(t)}{\kappa(t)^{2}} \end{eqnarray*}$

die Umformungen machen mir echt zu schaffen...

09.11.2013, 14:32

Che Netzer

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RE: Evoluten - Normalengerade - Tangentengerade
Sieht aber schon ganz gut aus. Jetzt kannst du noch $\begin{eqnarray*} Jn(t) \end{eqnarray*}$ umformen. Benutze dazu $\begin{eqnarray*} J^2=-\operatorname{Id} \end{eqnarray*}$ .

09.11.2013, 14:55

Mathelehrer

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RE: Evoluten - Normalengerade - Tangentengerade
$\begin{eqnarray*} c(t) + \frac{n(t)}{\kappa(t)} + c'(t) - c'(t)-\frac{n(t)\kappa'(t)}{\kappa(t)^{2}} = c(t)+sn(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c(t) + \frac{n(t)\kappa[t]-n(t)\kappa'(t)}{\kappa(t)^{2}} = c(t)+sn(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c(t) + n(t)\frac{\kappa[t]-\kappa'(t)}{\kappa(t)^{2}} = c(t)+sn(t) \end{eqnarray*}$

09.11.2013, 15:00

Che Netzer

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RE: Evoluten - Normalengerade - Tangentengerade
Da fehlen natürlich Kommentare zu den Gleichungen.
Und links brauchst du noch einen Parameter $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ vor dem Richtungsvektor.

10.11.2013, 09:44

Mathelehrer

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RE: Evoluten - Normalengerade - Tangentengerade
mit $\begin{eqnarray*} \kappa(t) = \frac {1}{r} \end{eqnarray*}$ kann ich das noch zu

$\begin{eqnarray*} c(t) + n(t)\frac{\frac {1}{r}+\frac {1}{r^{2}}}{\frac {1}{r}^{2}} = c(t)+sn(t) \end{eqnarray*}$ umformen.

das wird dann zu

$\begin{eqnarray*} c(t) + (r+1)n(t) = c(t)+sn(t) \end{eqnarray*}$ umformen.

ist mit Kommentare eine Erklärung gemeint wie die Gleichungen zustande kommen?
links ist die Gleichung für die Tangente an e und rechts die normalengleichung.

10.11.2013, 09:50

Che Netzer

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RE: Evoluten - Normalengerade - Tangentengerade

Zitat:

Original von Mathelehrer
mit $\begin{eqnarray*} \kappa(t) = \frac {1}{r} \end{eqnarray*}$

Wieso sollte das so sein? Du solltest einen reellen Parameter $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ vor den Richtungsvektor schreiben. Wie man nunmal eine Geradengleichung aufstellt.
kann ich das noch zu

Zitat:

ist mit Kommentare eine Erklärung gemeint wie die Gleichungen zustande kommen?

Ja. Einfach untereinandergeklatschte Gleichungen ergeben keinen Sinn.

Zitat:

links ist die Gleichung für die Tangente an e und rechts die normalengleichung.

"Links"? Du hast jeweils nur eine Gleichung aufgeschrieben. Auf ihrer linken bzw. rechten Seite steht jeweils ein Term, keine Gleichung.

10.11.2013, 10:06

Mathelehrer

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RE: Evoluten - Normalengerade - Tangentengerade
das hab ich so im Skript stehen und auch aus der Volesung mitgeschrieben
bzw. im Skript steht:

$\begin{eqnarray*} \kappa(t) = \pm\frac {1}{r} \end{eqnarray*}$

ist das falsch???

10.11.2013, 10:08

Che Netzer

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RE: Evoluten - Normalengerade - Tangentengerade
Da hast du wieder eine Gleichung aus dem Zusammenhang gegriffen. Diese Formel beschreibt die Krümmung eines Kreises mit Radius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ , nicht die einer beliebigen Kurve.

10.11.2013, 10:16

Mathelehrer

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RE: Evoluten - Normalengerade - Tangentengerade
ok dann kann ich das nicht verwenden...

wie bekomme ich dann die Gleichung
$\begin{eqnarray*} c(t) + n(t)\frac{\kappa(t)-\kappa'(t)}{\kappa(t)^{2}} = c(t)+sn(t) \end{eqnarray*}$
weiter umgeformt?

mit $\begin{eqnarray*} \kappa = \langle Jc', c''\rangle \end{eqnarray*}$ komme ich auch nicht weiter wegen der Ableitung davon...

10.11.2013, 10:17

Che Netzer

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RE: Evoluten - Normalengerade - Tangentengerade
Frag dich mal lieber, wieso du diese Gleichung überhaupt aufgeschrieben hast. Was soll die linke Seite sein?

10.11.2013, 10:24

Mathelehrer

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RE: Evoluten - Normalengerade - Tangentengerade
die linke Seite ist die Tangentengerade an e diese soll identisch mit der Normalengerade in c sein
ich kann mir aber die beiden Kurven nicht vorstellen vllt liegts daran...

10.11.2013, 10:25

Che Netzer

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RE: Evoluten - Normalengerade - Tangentengerade
Die linke Seite ist nur ein Term. Die Summe zweier Vektoren. Das kann keine Gerade sein.
Wie wird denn eine Gerade parametrisiert?

10.11.2013, 10:28

Mathelehrer

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RE: Evoluten - Normalengerade - Tangentengerade
mit Aufpunkt und Richtungsvektor

damit zwei geraden identisch sind müssen die Richtungsvektoren lvielfache voneinander sein.

und der Aufpunkt der einen muss gleichzeitig auch Aufpuntk der anderen sein

10.11.2013, 10:29

Che Netzer

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RE: Evoluten - Normalengerade - Tangentengerade

Zitat:

Original von Mathelehrer
mit Aufpunkt und Richtungsvektor

Und hier hast du ja zwei Geraden zu vergleichen. Was ist dabei der Aufpunkt, was der Richtungsvektor?

Zitat:

damit zwei geraden identisch sind müssen die Richtungsvektoren lvielfache voneinander sein

Dann sind sie zumindest parallel.

10.11.2013, 10:33

Mathelehrer

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RE: Evoluten - Normalengerade - Tangentengerade
ok verstanden (hoffentlich)

Aufpunkt ist c(t)
Richtungsvektor ist n(t)

daher kann ich
$\begin{eqnarray*} n(t)\frac{\kappa(t)-\kappa'(t)}{\kappa(t)^{2}} = rn(t) \end{eqnarray*}$ schreiben weil das mit sicherheit ein vielfaches von $\begin{eqnarray*} sn(t) \end{eqnarray*}$ ist

10.11.2013, 10:36

Che Netzer

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RE: Evoluten - Normalengerade - Tangentengerade

Zitat:

Original von Mathelehrer
Aufpunkt ist c(t)
Richtungsvektor ist n(t)

Ja, von der Normalengerade an $\begin{eqnarray*} c(t) \end{eqnarray*}$ .
Wie sieht es mit der anderen Geraden aus?

10.11.2013, 10:41

Mathelehrer

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RE: Evoluten - Normalengerade - Tangentengerade
verwirrt

verwirrt

der Aufpuntk wäre e(t)
Richtungsvektor e'(t)

wir haben jetzt versucht zu zeigen, dass e'(t) ein vielfaches von n(t) ist.

10.11.2013, 11:03

Che Netzer

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RE: Evoluten - Normalengerade - Tangentengerade
Ja. Und hat das geklappt?
Was lässt sich jetzt folgern?

10.11.2013, 11:14

Mathelehrer

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RE: Evoluten - Normalengerade - Tangentengerade
ja es hat geklappt. smile

smile

smile

smile

folgern kann daraus, dass die Geraden zumindest parallel sind. wenn e(t) jetzt noch als aufpunkt von der Normalengerade geht. bzw. c(t) als Aufpunkt der Tangentengerade, dann sind die beiden Geraden identisch.

10.11.2013, 11:17

Che Netzer

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RE: Evoluten - Normalengerade - Tangentengerade
Ja, du musst also nur noch überprüfen, ob z.B. $\begin{eqnarray*} e(t) \end{eqnarray*}$ auf der Normalengeraden durch $\begin{eqnarray*} c(t) \end{eqnarray*}$ liegt.

10.11.2013, 11:19

Mathelehrer

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RE: Evoluten - Normalengerade - Tangentengerade
Vielen Dank für die Hilfe!!!

hilfst du mir noch bei der b)

Zeigen Sie
$\begin{eqnarray*} L(e) = | \frac{1}{\kappa (b)} - \frac{1}{\kappa (a)} | \end{eqnarray*}$ für die Länge der Kurve e

c) traue ich mir inzwischen alleine zu

10.11.2013, 11:21

Che Netzer

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RE: Evoluten - Normalengerade - Tangentengerade
Ihr habt die Länge einer Kurve sicher über ein Integral definiert (oder dargestellt). Wie sieht dieses aus?

10.11.2013, 11:28

Mathelehrer

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RE: Evoluten - Normalengerade - Tangentengerade
die Länge L einer Kurve c war:

$\begin{eqnarray*} L(c):=\int_I \! | c'(t) | \, dt \end{eqnarray*}$

10.11.2013, 11:29

Mathelehrer

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RE: Evoluten - Normalengerade - Tangentengerade
das wäre dann wohl Stammfunktion von e an der stelle b minus Stammfunktion von e an der Stelle a....

10.11.2013, 11:29

Che Netzer

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RE: Evoluten - Normalengerade - Tangentengerade
Und hier setzt du $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ein. Du benötigst also den Betrag von $\begin{eqnarray*} e' \end{eqnarray*}$ .

10.11.2013, 11:35

Mathelehrer

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RE: Evoluten - Normalengerade - Tangentengerade
$\begin{eqnarray*} |e'(t)| = |c'(t) + \frac{n'(t)\kappa(t)-n(t)\kappa'(t)}{\kappa(t)^{2}}| \end{eqnarray*}$

Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} c'(t) \end{eqnarray*}$ ist einfach $\begin{eqnarray*} c(t) \end{eqnarray*}$ Stammfunktion des Bruchs = ????

10.11.2013, 11:37

Che Netzer

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RE: Evoluten - Normalengerade - Tangentengerade
Was willst du denn mit Stammfunktionen?
Als erstes musst du den Betrag berechnen. Dazu kannst du $\begin{eqnarray*} e' \end{eqnarray*}$ wieder vereinfachen.

10.11.2013, 11:43

Mathelehrer

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RE: Evoluten - Normalengerade - Tangentengerade
ich will doch ein Integral berechnen, das mach ich doch über Stmmfunktion an Intervallobergrenze minus Stammfunktion an der Untergrenze.
(Schulzeit ist zwar lange lange her aber da bin ich mir sicher!)

$\begin{eqnarray*} e'(t) = -\frac{n(t)\kappa'(t)}{\kappa(t)^{2}} \end{eqnarray*}$

noch weiter umformen oder reicht das schon?

10.11.2013, 11:57

Che Netzer

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RE: Evoluten - Normalengerade - Tangentengerade
Das ist schon ganz gut.
Jetzt brauchst du den Betrag von $\begin{eqnarray*} e'(t) \end{eqnarray*}$ (dazu kannst du o.B.d.A. $\begin{eqnarray*} \kappa'(t)<0 \end{eqnarray*}$ annehmen). DEN integrierst du dann.

10.11.2013, 12:05

Mathelehrer

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RE: Evoluten - Normalengerade - Tangentengerade
hm verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} | e'(t)| =\sqrt{(\frac{n(t)\kappa'(t)}{\kappa(t)^{2}})^{2}+(\frac{n(t)\kappa'(t)}{\kappa(t)^{2}})^{2}} \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

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