Oberintegral der Thomaeschen Funktion |
| 08.11.2013, 11:12 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Oberintegral der Thomaeschen Funktion ich möchte gerne zeigen, dass das Oberintegral der Thomaeschen Funktion gleich 0 ist. Dafür hatte ich mir folgenden Weg überlegt: Zunächst zeige ich, dass die Thomaesche Funktion stetig in allen irrationalen Zahlen ist. Dann benutze ich den Satz, dass eine Funktion auf einem Kompaktum Riemann-Integrierbar ist, wenn sie nur abzählbar viele Unstetigkeitsstellen hat. Dann kann ich statt dem Oberintegral das Lebesgue-Integral berechnen. Ist ja ein ziemlicher Umweg. Gibt es da was kürzeres? |
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| 09.11.2013, 14:55 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Oberintegral der Thomaeschen Funktion
Das stimmt gar nicht, denn hat auf nur eine einzige Unstetigkeitsstelle, ist aber nicht integrierbar. Die Thomaesche Funktion ist allerdings beschränkt, wodurch dein Weg doch funktioniert. Wenn du allerdings schon weißt, dass die Funktion Riemann-integrierbar ist, kannst du anstelle des Oberintegrals auch das Unterintegral berechnen, was ja etwas offensichtlicher Null ist. Genügt dir das schon oder wolltest du den zitierten Satz (mit Beschränktheit) gar nicht benutzen? |
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| 09.11.2013, 15:11 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
den wollte ich eigentlich nicht benutzen, weil er zwar im Skript steht, wir ihn aber damals nicht bewiesen haben. So gesehen dürfte ich ihn wohl benutzen, würde ich aber nur ungerne. Ich habe mir inzwischen mit der Stetigkeit in den irrationalen Zahlen eine Folge von Treppenfunktionen gebastelt, die stets überhalb der Funktion liegt und deren Integralfolge gegen 0 konvergiert. Sollte auch durchgehen oder? |
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| 09.11.2013, 15:18 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, ist doch im wesentlichen die Definition des Oberintegrals. Man wählt halt möglichst kleine Intervalle um die größten Werte und macht ein paar Abschätzungen. |
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| 09.11.2013, 15:44 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für die Korrektur mit der Beschränktheit und die sonstige Einschätzung. Schönes Wochenende. |
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