Poisson-Verteilung mit Binomialverteilung?

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philippo_consales Auf diesen Beitrag antworten »
Poisson-Verteilung mit Binomialverteilung?
Hallo,

wir müssen als Übung folgendes Beispiel lösen:

[Poissonverteilung] Angenommen, bei der Herstellung von optischen Speichermedien (CDs) treten Verunreinigungen durch Staubteilchen gemäß einer Poissonverteilung mit einem Mittelwert von 0.0002 Teilchen pro cm2 auf. Die CDs haben eine Fläche von 100 cm2.

(a) Wenn 50 CDs untersucht werden, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß keine Teilchen entdeckt werden?
(b) Wieviele CDs müssen im Mittel untersucht werden, bevor ein Teilchen entdeckt wird?
(c) Wenn 50 CDs untersucht werden, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß es darunter höchstens 2 CDs mit einem oder mehr Teilchen gibt?

Bei (a) bin ich auf 0,3679 und bei (b) auf 50 CDs gekommen.

Bei (c) bin ich mir jedoch unsicher.
Mein Ansatz: Man berechnet sich zuerst die Wahrscheinlichkeit, dass eine CD mind. 1 Teilchen aufweist. Anschließend führt man eine neue Stochastische Größe Y ein. Sie gibt die Anzahl der CDs an, die mind. 1 Teilchen aufweisen.

Also hab ich P{Y höchstens 2}=P{Y=0} + P{Y=1} + P{Y=2} mit der Binomialverteilung berechnet und komme auf 0,9234.

Ist dieser Ansatz korrekt?

LG,
Philipp
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, stimmt alles soweit, wobei bei b) eigentlich ein Wert knapp über 50.5 herauskommt, d.h. wenn schon auf ganze Zahlen gerundet, dann 51. Augenzwinkern
philippo_consales Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die schnelle Antwort.

Ok, dann hab ich bei b) einen Fehler (ich bekomme exakt 50 raus).

Mein Ansatz: Der Erwartungswert soll 1 sein (d.h. ein Teilchen). Pro CD befinden sich 0,02 Teilchen. Dadurch komme ich auf die Gleichung 0,02*n=1

==> n = 1/0,02 = 50

Hab ich hier einen Denkfehler?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Wahrscheinlichkeit, dass auf einer CD (mindestens) ein Teilchen entdeckt wird, ist gemäß Poissonverteilung

Die (zufällige) Anzahl der CDs, die untersucht werden müssen bis zum Auftreten einer fehlerhaften CD ist dann geometrisch verteilt (A) mit Parameter , deren Erwartungswert íst .
philippo_consales Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok, verstehe.

Danke für die ausführliche Erklärung smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei seltenen Ereignissen ist der Unterschied der beiden Berechnungsweisen natürlich gering, nahezu vernachlässigbar.

Aber stell die nur mal vor, du hast nicht Fehlerintensität 0.02 pro CD, sondern 2, also im Mittel 2 Fehler pro CD. Dann käme man mit deiner ursprünglichen Berechnungsweise auf im Mittel 0.5 CDs, bis man einen Fehler findet?! Kann nicht sein, denn es muss ja wohl im Mittel mindestens eine CD sein (tatsächlich sind es analog wie oben berechnet CDs) - ganz egal, wie hoch die Intensität ist. Augenzwinkern
 
 
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