Ungleichung lösen

08.11.2013, 16:18

Lynn2

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Ungleichung lösen

Meine Frage:
Guten Abend. smile

smile

$\begin{eqnarray*} \forall x, y \in \mathbb R : max(x,y)=\frac{1}{2}(x+y+ |x-y|) \end{eqnarray*}$

1.Fall: $\begin{eqnarray*} x\geq 0, y\geq 0 \end{eqnarray*}$
2.Fall: $\begin{eqnarray*} x < 0, y\geq 0 \end{eqnarray*}$
3.Fall: $\begin{eqnarray*} x < 0, y < 0 \end{eqnarray*}$
sind mir bewusst doch beim 4.Fall bin ich mir unsicher.

Meine Ideen:
4. Fall: $\begin{eqnarray*} x\geq 0, y < 0 \Rightarrow | x-y | 0 - (x-y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} max(x,y)=\frac{1}{2}(x+y+(-(x-y))) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} max(x,y)=\frac{1}{2}(x+y-x+y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} max(x,y)=y \end{eqnarray*}$

Meine Annahme bei dem Fall ist ja, dass $\begin{eqnarray*} x\geq 0, y < 0 \end{eqnarray*}$ und somit bedeutet dies ja, dass $\begin{eqnarray*} x > y \end{eqnarray*}$ . Doch die Lösung besagt $\begin{eqnarray*} x < y \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} max(x,y)=y \end{eqnarray*}$ . Was meint ihr? Bei den anderen 3 Fällen stimmt soweit alles.

08.11.2013, 17:18

kgV

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Eigentlich musst du nur zwei Fälle unterscheiden (man kann auch drei daraus machen) : Welche das sind, erkennst du, wenn du die linke Seite betrachtest: welches Ergebnis liefert die Maximumsfunktion? Wann ändert sich das? Zufälligerweise ändert sich dann auch der Betrag, wie du feststellen wirst Augenzwinkern

Augenzwinkern

Daraus kannst du auf die zu unterscheidenden Fälle schließen

Lg
kgV
Wink

Wink

08.11.2013, 18:00

Lynn2

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RE: Ungleichung lösen
Mein Professor hat es aber auch mit 4. Fällen gemacht, um es deutlich zu zeigen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Mir geht es ja nur darum, dass es sich widerspricht! Wie kann das sein bzw. was sagt mir das?

P.S. Was wäre denn deine 2 Fälle, welche du "nur" betrachten würdest?

08.11.2013, 18:09

kgV

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Was widerspricht sich?

Und: meine Fälle ergeben sich direkt aus dem Betrag: Wann ist der positiv und wann negativ?

08.11.2013, 23:01

Grautvornix

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RE: Ungleichung lösen
Wenn Du einfach überlegst, dass Du OBdA $\begin{eqnarray*} x\geq y \end{eqnarray*}$ annehmen kannst, dann brauchst Du überhaupt keine weitere Fallunterscheidung.

08.11.2013, 23:28

kgV

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RE: Ungleichung lösen
Stimmt, eines muss ja größer sein smile

smile

hatte ich nicht bedacht...

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09.11.2013, 12:30

Lynn2

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RE: Ungleichung lösen
OBdA $\begin{eqnarray*} x\geq y \end{eqnarray*}$ ? Was soll mir das sagen? Wie soll ich das Problem nun am besten lösen?

09.11.2013, 12:49

Leopold

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Ich finde, man braucht hier gar nichts zu rechnen. Wenn man zum Mittelwert $\begin{eqnarray*} \mu = \frac{1}{2}(x+y) \end{eqnarray*}$ zweier Zahlen $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ ihren halben Abstand $\begin{eqnarray*} \delta = \frac{1}{2} \left| x-y \right| \end{eqnarray*}$ addiert, erhält man ihr Maximum, wenn man ihn subtrahiert, ihr Minimum:

$\begin{eqnarray*} \max(x,y) = \mu + \delta \, , \ \ \min(x,y) = \mu - \delta \end{eqnarray*}$

Eine Zeichnung am Zahlenstrahl macht dies offenkundig.

09.11.2013, 17:28

Lynn2

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Danke für den Hinweis Leopold. smile

smile

Aber wie muss die Aufgabe nun richtig gelöst werden, wenn ich diese anhand von Fällen lösen möchte?

09.11.2013, 23:22

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RE: Ungleichung lösen
Wenn du unbedingt Fallunterscheidungen willst:
$\begin{eqnarray*} x\geq 0, y<0 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} -y>0 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} x-y>0 \end{eqnarray*}$

10.11.2013, 10:36

Lynn2

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RE: Ungleichung lösen
Das habe ich schon verstanden!

Aber es geht mir ja darum, dass ich davon ausgehe, dass $\begin{eqnarray*} y < 0 \end{eqnarray*}$ ist, und am Ende erhalte ich $\begin{eqnarray*} max(x,y)=y \end{eqnarray*}$ , obwohl $\begin{eqnarray*} x\geq 0, y < 0 \end{eqnarray*}$ und somit ja das Ergebnis ja $\begin{eqnarray*} max(x,y)=x \end{eqnarray*}$ heißen müsste.

10.11.2013, 12:22

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RE: Ungleichung lösen
Das wiederum verstehe ich nicht
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(x+y+ |x-y|)=\frac{1}{2}(x+y+ x-y)=x \end{eqnarray*}$

10.11.2013, 15:00

Lynn2

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RE: Ungleichung lösen
Unter welcher Voraussetzung triffst du diese Aussage?
Das was du da gemacht hast, betrifft ja den Fall $\begin{eqnarray*} x\geq 0, y\geq 0 \end{eqnarray*}$ .

10.11.2013, 15:10

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RE: Ungleichung lösen

Zitat:

Original von Lynn2
Unter welcher Voraussetzung triffst du diese Aussage?

Na unter
$\begin{eqnarray*} x\geq 0, y<0 \end{eqnarray*}$ .
Wie schon geschrieben ist dann $\begin{eqnarray*} -y>0 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} x-y=x+(-y)>0 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} |x-y|=x-y \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Lynn2
Das was du da gemacht hast, betrifft ja den Fall $\begin{eqnarray*} x\geq 0, y\geq 0 \end{eqnarray*}$ .

Ganz und gar nicht. Denn in dem von dir genannten Fall kann man nicht ohne weiteres entscheiden, welches Vorzeichen $\begin{eqnarray*} x-y \end{eqnarray*}$ hat und demnach auch $\begin{eqnarray*} |x-y| \end{eqnarray*}$ nicht so ohne weiteres auflösen.

10.11.2013, 15:14

Lynn2

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Dann muss ich ja die anderen Fälle komplett falsch gelöst haben. Wärst du so nett und könntest es mir mal für alle Fälle zeigen? Gott

Gott

10.11.2013, 15:30

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Deine Fallunterscheidung ist nicht sinnvoll. kgV gab schon den Hinweis

Zitat:

Original von kgV
Eigentlich musst du nur zwei Fälle unterscheiden (man kann auch drei daraus machen) : Welche das sind, erkennst du, wenn du die linke Seite betrachtest: welches Ergebnis liefert die Maximumsfunktion? Wann ändert sich das? Zufälligerweise ändert sich dann auch der Betrag, wie du feststellen wirst Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du musst nur unterscheiden, ob $\begin{eqnarray*} x-y\geq 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x-y< 0 \end{eqnarray*}$ ist.

10.11.2013, 15:50

Lynn2

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Achso alles klar. Jetzt hat es ganz laut Klick gemacht. Big Laugh

Big Laugh

Hammer

10.11.2013, 16:13

Lynn2

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Wieso folgt eigentlich daraus, dass auch $\begin{eqnarray*} \forall x, y \in \mathbb R : min(x,y)=\frac{1}{2}(x+y-|x-y|) \end{eqnarray*}$ gilt, ohne dies anhand von Fallunterscheidung zu zeigen?

10.11.2013, 16:16

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min(x,y)+max(x,y)=?

10.11.2013, 16:41

Lynn2

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x+y

10.11.2013, 16:56

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richtig. und nun?
du wolltest doch eine Formel für das min(x,y)

10.11.2013, 17:11

Lynn2

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Die Gleichung einfach umstellen, einsetzen und dann ist schick. Danke. smile

smile

Habe die Lösung. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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