Skizzieren Sie die Menge...

07.08.2004, 15:40

economic

Skizzieren Sie die Menge...

Hi Leute.
Habe hier ein kleines Problem...

Skizzieren Sie sorgfältig die Menge
$\begin{eqnarray*} B =\{(x,y)\in \mathbb R^2 | 1\leq x\leq 2,1\leq y\leq x\} \end{eqnarray*}$

und berechnen sie das Integral
$\begin{eqnarray*} \int_{B}^{}~\frac{x}{y}~d(x,y) \end{eqnarray*}$

Ich komme da nur zum Ergebnis 0,5. Jedoch durchs zeichnen.
Als Integralgrenzen habe ich fuer dx {1,2} und für dy {1,x} festgelegt.
Wie geht die Integration?

Dank euch für die Unterstützung smile

-eco

07.08.2004, 19:45

Philipp-ER

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Hi.
Also wie du durch skizzieren der Menge auf den Wert dieses Integrals kommen willst, ist mir ein Rätsel.
Du musst doch einfach nur noch dieses Bereichsintegral zu einem Doppelintegral umschreiben, wobei das einzige Problem das bestimmen der Grenzen ist, was du ja schon geschafft hast, da dein Ergebnis für die Grenzen meiner Meinung nach richtig ist.

Weißt du denn, wie du es zu einem Doppelintegral umschreiben kannst?

08.08.2004, 00:27

economic

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Warum ist das ein Rätsel? An der Skizzierten Menge sieht man, dass es ein rechtwinkliges Dreieck ist...

Aber mein Problem besteht eigentlich nur im Auflösen des Integrals.
Kann das vielleicht einer schrittweise erklären?

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{2} \int_{1}^{x}~\frac{x}{y}~dy~dx \end{eqnarray*}$

Danke im Voraus smile

08.08.2004, 09:26

Philipp-ER

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Aber das Bereichsintegral einer beliebigen Funktion über eine Teilmenge des R^2 hat doch absolut nichts mit dem "Flächeninhalt" des Bereichs zu tun. Das gilt nur, wenn die betrachtete Funktion die 1 ist, also f(x,y)=1. Und ich weiß nicht, wie du sonst auf diese 0.5 kommen willst.

Dein Doppelintegral ist richtig.
Da du beim inneren Integral nach y integrieren musst, kannst du x als Konstante herausziehen.
Du erhältst
$\begin{eqnarray*} \int_1^2 x (\int_1^x \frac{1}{y}dy) dx \end{eqnarray*}$
Kannst du
$\begin{eqnarray*} \int_1^x\frac{1}{y}dy \end{eqnarray*}$ berechnen? Erinnerst du dich noch an eine Stammfunktion von der Funktion $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ?

Das anschließend entstehende Integral löst man zum Beispiel mit partieller Integration, wähle einfach u'(x)=x und entsprechend für v den Rest.

Poste bitte deine Rechnung, falls du nicht weiterkommst, dann kann man dir besser helfen.

08.08.2004, 11:28

economic

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Erstmal Danke für deine Tipps...
Also ich hatte das schon gerechnet, aber bin nie auf 0,5 gekommen. daher frage ich ja auch smile

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{2}~x*ln(x)~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = [\frac{1}{2}x^2*ln(x)]_{1}^2 - \int_{1}^{2}~\frac{1}{2}x^2 * \frac{1}{x}~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =ln(4) - \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

Und das ist eben 0,63... und nicht 0,5 wie es meiner meinung nach sein sollte.

08.08.2004, 12:19

Philipp-ER

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Dein Ergebnis stimmt.

Wie gesagt, du integrierst hier x/y über dein Dreieck, da kommt sicher nicht der Inhalt dieses Dreiecks raus. Das Ergebnis wäre 1/2, wenn du f(x,y)=1 über das Dreieck integrieren würdest, das liefert dir nämlich dann den Flächeninhalt.
Ich glaube, man kann das Ergebnis anschaulich als Volumen des über dem Dreieck und unter der Fläche mit der Gleichung f(x,y)=x/y liegenden Körpers interpretieren, wobei ich mir da aber nicht sicher bin.

08.08.2004, 16:15

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Philipp-ER
Ich glaube, man kann das Ergebnis anschaulich als Volumen des über dem Dreieck und unter der Fläche mit der Gleichung f(x,y)=x/y liegenden Körpers interpretieren, wobei ich mir da aber nicht sicher bin.

Genauso ist es. Und desegen hast du, economic, nur den zweidimensionalen Flächeninhalt des Dreiecks berechnet und nicht das dreidimensionale Volumen des Körpers, der gesucht ist (und den man durch´s Integrieren rauskriegt).

Hast du eine Vorstellung, wie s etws aussieht, was du da betrachtest, economic? Ich hänge mal ein Bildchen an, dies ist jedoch nicht deine Funktion, sondern eine beliebige und hier wird über ein Rechteck integriert statt über ein Dreieck, aber vom Prinzip her ist es genauso.

Gruß vom Ben

08.08.2004, 17:19

economic

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Jetzt hab ichs verstanden, danke! smile

08.08.2004, 21:54

economic

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Hey Leute.
Sitze wieder an fast der gleichen Aufgabe und bin glaube ich zu doof zum integrieren. Kriege einfach nicht das Ergebnis aus dem Lösungsbuch. Egal was ich probiere.

Hilfe bitte smile

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~\int_{0}^{\sqrt{x^2+1}}~\frac{2y}{(x^2+y^2+1)^2}~dy dx \end{eqnarray*}$

Soll bestimmt werden.
Ich bin vorgegangen:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~\frac{1}{x^2+1-x^2+1}-\frac{1}{x^2+1}~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =ln(x^2+1)-\frac{1}{2}x]_{0}^1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =ln(2)-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

und hierbei bin ich mir diesmal recht sicher, dass es nicht stimmen kann.
wo liegt diesmal mein fehler?

Dank euch, Leute.

08.08.2004, 22:12

Leopold

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Wie kommst du auf den ersten Schritt? Ich habe da etwas Ähnliches, allerdings teilweise andere Vorzeichen.

08.08.2004, 23:27

economic

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Der erste schritt ist Substitution... und ich sehe schon was du meinst.
Habe falsch integriert. Sollte -1/... sein im ersten Ausdruck.

1/2 - ln(2) ist dann also die lösung.

Wo kommen denn korrekterweise die Betragsstriche beim Auflösen hin? (Sehe gerade, dass es dann negativ ist smile

)

09.08.2004, 09:30

Leopold

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Ich schreibe dir einmal den ersten Umformungsschritt auf. Ist dir dieser klar?

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~\int_{0}^{\sqrt{x^2+1}}~\frac{2y}{(x^2+y^2+1)^2}~dy \ dx \ = \ \int_{0}^{1}~[\ -\frac{1}{x^2+y^2+1}\ ]_{\ y=0}^{\ y=\sqrt{x^2+1}}~\ dx \end{eqnarray*}$

09.08.2004, 18:24

economic

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Ja, danke Leo, hab nun die Lösung gefunden.

Aber leider direkt bei der nächsten Aufgabe an einem Problem hängengeblieben.

Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{x^2+1} \end{eqnarray*}$ kriege ich nicht hin. Sieht einfach aus, aber substitution oder partielle integration will einfach nicht klappen.

weiss nur, dass ich wahrscheinlich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^2+1}=arctan(x) \end{eqnarray*}$
irgendwie einsetzen kann... verwirrt

09.08.2004, 18:32

Leopold

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Zitat:

Original von economic
Sieht einfach aus

Ist es auch!
Allerdings braucht man "einen Blick" für solche Sachen: Schreibe im Zähler statt x² den Term (x²+1)-1, zerlege und kürze.

Edit:

Und was du da ganz zum Schluß geschrieben hast, tut richtig weh. Schreibe bitte richtig:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{x^2+1}~dx \ = \ \arctan{x} \end{eqnarray*}$

So viel Zeit (für das Integralzeichen) muß sein. Sonst gewöhnst du dir bloß den größten Unsinn an.

09.08.2004, 19:00

economic

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ja, das stimmt. sowas sollte man sich nicht angewöhnen smile

. sorry

aber danke für die hilfe... weiss auch nicht, was mit mir los ist, dass ich soetwas nicht sehe unglücklich

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