Kern und Bild einer Matrix

Neue Frage »

08.11.2013, 17:52	Dummkopf_87	Auf diesen Beitrag antworten »
Kern und Bild einer Matrix Hallo, bin nicht wirklich gut in Mathe und hänge leider auch etwas auf dem Schlauch, deswegen wollte ich mal hier fragen. Bestimmen Sie die Matrix A $\begin{eqnarray} \in \mathbb R^{2,2} \end{eqnarray}$ , sodass gilt: - Der Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist im Kern der zur Matrix A gehörenden linearen Abbildung und - das Bild von $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Beim ersten Punkt müsste ja die MatritzeVektor = 0 ergeben(wenn ich mich nicht irre ) Das würde dann $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ergeben. Beim zweiten Punkt verstehe ich allerdings nicht, was ich tun soll. Ich bitte um Hilfe
08.11.2013, 18:09	Telperion	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kern und Bild einer Matrix Hallo, den ersten Punkt hast du korrekt gelöst Zum zweiten Punkt: Was heißt es denn, dass das Bild von $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ unter einer Matrix der Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist? Tipp: Im ersten Teil hast du eine Matrix bestimmt, sodass das Bild des Vektors $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ der Nullvektor ist. Viele Grüße, Dominik
08.11.2013, 18:32	Dummkopf_87	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kern und Bild einer Matrix Ich kann mit dem Begriff "Bild" einfach nichts anfangen, ich google und alles is auf spanisch. Ich versteh einfach nicht was ich machen soll, oder inwiefern der zweite Punkt jetzt die Matrix beeinflusst.
08.11.2013, 18:39	Dummkopf_87	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kern und Bild einer Matrix Die Vekoren liegen doch nicht einmal in der Matrix drinne? Also warum sollten sie einen Einfluss darauf haben? Ich geb einfach auf
08.11.2013, 18:56	Telperion	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kern und Bild einer Matrix Hey, nein, aufgeben musst du nicht! Hier ist Folgendes gemeint: Finde $\begin{eqnarray} A\in \mathbb R^{2\times 2} \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} A \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gilt. Weißt du nun, wie du diese Matrix bestimmst?
08.11.2013, 19:07	Dummkopf_87	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kern und Bild einer Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 1,5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das sollte stimmen.. was bringt mir das genau? Wie bringe ich jetzt beide Matrizen in Bezug zueinander? Multiplizieren?
Anzeige

08.11.2013, 19:15	Telperion	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kern und Bild einer Matrix Hallo, ja, das ist richtig! Wie möchtest du die Matrizen denn in Bezug zueinander bringen? Davon steht nichts in der Aufgabe und ich weiß auch nicht genau, was du mit der Frage meinst; die beiden Matrizen hast du seperat voneinander in zwei verschiedenen Aufgaben berechnet. Viele Grüße, Dominik
08.11.2013, 19:21	Dummkopf_87	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, man soll EINE matritze berechnen, die BEIDE Bedingungen erfüllt. Das Antwortfeld bietet auch nur Platz für EINE 2x2 Matritze. (deswegen kam ich aufs multiplizieren, was offensichtlich kompletter Schwachsinn ist, also lieber vergessen). Hatte auch im ersten Post die Vektoren v1= 0,1 und v2=1,0 (die zusätzlich noch gegeben sind) vergessen.
08.11.2013, 19:42	Telperion	Auf diesen Beitrag antworten »
Aha, dann habe ich wohl die Aufgabe falsch verstanden, ich dachte du sollst zwei verschiedene Matrizen bestimmen, die jeweils eine der Bedingungen erfüllen. Sorry Was meint du mit den Vektoren $\begin{eqnarray} v_1,v_2 \end{eqnarray}$ ? Was sollen die denn erfüllen? Viele Grüße, Dominik
08.11.2013, 19:57	Dummkopf_87	Auf diesen Beitrag antworten »
Du brauchst dich sicherlich nich entschuldigen Ich schreib einfach nochmal alles rein was ich jetzt habe(zur Sicherheit) Bestimmen Sie die Matrix A $\begin{eqnarray} \in \mathbb R^{2,2} \end{eqnarray}$ , sodass gilt: - Der Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist im Kern der zur Matrix A gehörenden linearen Abbildung und - das Bild von $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Gegeben habe ich dann 2 Diagramme. Das Linke ist der Urbildraum mit den beiden Vektoren v1 $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und v2 $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ die auch eingezeichnet sind(auf Grund der Koordinaten halt auf den Achsen nach oben und nach rechts). Man kann diese auch nicht ändern, dient denke ich mal zur linearen Abhängigkeit.( da man diese benötigt) Rechts ist der Bildraum, wo sich dann das darstellt, was ich in der Matrize eingebe(v1 und v2), sprich Av1 und Av2.
08.11.2013, 20:00	Dummkopf_87	Auf diesen Beitrag antworten »
Meinte natürlich lineare UNabhängigkeit! -.- sorry. vielleicht sollte man sich mal registrieren, damit man es editen kann. Und das Ergebnis ist wie gesagt, EINE 2x2 Matrix.
08.11.2013, 20:07	Telperion	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, also die Vektoren $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bilden eine Basis des $\begin{eqnarray} \mathbb R^{2\times 2} \end{eqnarray}$ , ich denke die stehen da für dich zur Anschauung. Nun zur Aufgabe: Wir suchen eine Matrix $\begin{eqnarray} A\in \mathbb R^{2\times 2} \end{eqnarray}$ sodass gilt: $\begin{eqnarray} A\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \in \operatorname{Kern}(A) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Nimm dir nun ein allgemeines $\begin{eqnarray} A \in \mathbb R^{2\times 2} \end{eqnarray}$ und multipliziere die Matrix-Vektor-Produkte mal aus, das sollte dich auf zwei lineare Gleichungssysteme führen, die du dann in eins schreiben kannst und lösen kannst. Viele Grüße, Dominik
08.11.2013, 20:27	Dummkopf_87	Auf diesen Beitrag antworten »
so? $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ * $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ * $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
08.11.2013, 20:34	Telperion	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sind die Gleichungen, ja. Nun führe die Matrix-Vektor-Multiplikation aus, was erhältst du?
08.11.2013, 20:39	Dummkopf_87	Auf diesen Beitrag antworten »
a= 1/3 b= -1 c= -1/9 d= 1/3
08.11.2013, 20:47	Telperion	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist korrekt, sehr gut! Am Besten du machst auch selbst mal die Probe!
08.11.2013, 20:50	Dummkopf_87	Auf diesen Beitrag antworten »
OH MEIN GOTT! MAGIE! Danke für die Hilfe!!
08.11.2013, 20:51	Telperion	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerne

Neue Frage »

Antworten »

Kern und Bild einer Matrix

Verwandte Themen