Substitution

08.11.2013, 18:59

NarcissusNarcosis

Substitution

Meine Frage:
Hallo liebe Community!

ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe, und zwar weiß ich leider nicht wie ich das Problem mit der Substitution angehen soll.

Meine Ideen:
Ich denke ich soll hier mit der Funktionaldeterminante arbeiten, weiß aber nicht wie...

08.11.2013, 21:17

EinGast

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RE: Substitution
Hallo,

du kannst analog vorgehen wie bei eindimensionalen Integralen: es gilt $\begin{eqnarray*} \vec{x}(\vec{\rho})=r\vec{\rho}+\vec{x}_1 \end{eqnarray*}$ , und damit nun das $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ aus dem Integral durch $\begin{eqnarray*} \vec{\rho} \end{eqnarray*}$ ersetzen
Für die Differentiale gilt hier nun $\begin{eqnarray*} d^3x=|\det J|\, d^3\rho \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ die Jacobi-Matrix der Funktion $\begin{eqnarray*} \vec{x}=\vec{x}(\vec{\rho}) \end{eqnarray*}$ ist

Das Integrationsgebiet (das in der Aufgabe nicht angegeben ist) muss auch mittransformiert werden

09.11.2013, 10:53

NarcissusNarcosis

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Danke für deine Antwort!

Ich kenne die Jacobi Matrix, leider weiß ich nicht wie ich sie bei diesem Beispiel anwenden soll. Muss ich $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ nun partiell ableiten? Wenn ja dann brauch ich doch die Komponenten von $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ . Ich steh grad echt auf dem Schlauch!

09.11.2013, 12:13

EinGast

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Zitat:

Original von NarcissusNarcosis
Muss ich $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ nun partiell ableiten? Wenn ja dann brauch ich doch die Komponenten von $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ .

ja, und die Komponenten von $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ kann man an der erwähnten Gleichung $\begin{eqnarray*} \vec{x}(\vec{\rho})=r\vec{\rho}+\vec{x}_1 \end{eqnarray*}$ (dabei sind $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{x}_1 \end{eqnarray*}$ konstant) ablesen: beispielsweise ist die erste Komponente von $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{(1)}(\vec{\rho})=x^{(1)}(\rho^{(1)}, \rho^{(2)}, \rho^{(3)})=r\rho^{(1)}+ x_1^{(1)} \end{eqnarray*}$
(ich bezeichne hier für einen Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ te Komponente mit $\begin{eqnarray*} a^{(i)} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \vec{a}=(a^{(1)}, a^{(2)}, a^{(3)}) \end{eqnarray*}$ )

09.11.2013, 12:18

NarcissusNarcosis

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Das heißt wir erhalten eine 3x3 Matrix mit der Diagonalen roh, rho, rho und die Determinante ergibt dann rho^3?

09.11.2013, 12:20

NarcissusNarcosis

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Sorry ich meinte eine 3er Matrix mit einer Diagonalen r,r,r

09.11.2013, 12:28

EinGast

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richtig, es steht $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ auf der Hauptdiagonalen der Jacobi-Matrix, und sonst nur 0, also ist die Determinante davon $\begin{eqnarray*} r^3 \end{eqnarray*}$

09.11.2013, 12:30

NarcissusNarcosis

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Jetzt kürzt sich beim Einsetzen von d^3x auch das r^4 unter dem bruch weg und es bleibt 1/r. Das Ergebnis stimmt nun auch mit der Vorgabe überein!
Vielen Dank, das hat mir sehr geholfen!

09.11.2013, 16:31

NarcissusNarcosis

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Kannst du mir auch einen Tipp geben wie es bei b) weitergeht? hierbei handelt es sich ja um den Gradienten. Soll ich hier das im Betrag komponentenweise umschreiben und dann ableiten?

09.11.2013, 17:31

EinGast

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Zitat:

Original von NarcissusNarcosis
Soll ich hier das im Betrag komponentenweise umschreiben und dann ableiten?

ja, ich würde es jedenfalls so machen

09.11.2013, 18:06

NarcissusNarcosis

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ok, wenn ich aber die Definition für rho einsetze, rho=( $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \vec{x_{1}} \end{eqnarray*}$ )/r dann habe ich kein rho mehr drin um partiell abzuleiten. Soll ich also dann nach $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ ableiten? $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ hängt ja weder von $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ noch von rho ab, das heißt $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ würde bei der Bildung des Gradienten wegfallen?

09.11.2013, 19:29

EinGast

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nein, nicht $\begin{eqnarray*} \vec{\rho} \end{eqnarray*}$ ersetzen - beachte, dass der Gradient bezüglich $\begin{eqnarray*} \vec{\rho} \end{eqnarray*}$ zu bilden ist, dh setzt man

$\begin{eqnarray*} f(\vec{\rho}):=|\vec{\rho}+\hat{n}|^{-1} \end{eqnarray*}$

so ist $\begin{eqnarray*} \vec{\nabla}_{\vec{\rho}} f= \left( \frac{\partial f}{\partial \rho^{(1)} }, \frac{\partial f}{\partial \rho^{(2)} }, \frac{\partial f}{\partial \rho^{(3)} } \right) \end{eqnarray*}$ gesucht

09.11.2013, 20:23

NarcissusNarcosis

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ok, und die Komponenten von rho sind einfach $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} rho_1 \\ rho_2 \\ rho_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

09.11.2013, 21:26

EinGast

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ja, dh in meiner Schreibweise ist $\begin{eqnarray*} \vec{\rho}=(\rho^{(1)}, \rho^{(2)}, \rho^{(3)}) \end{eqnarray*}$

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