Stetigkeit und Differenzierbarkeit

09.11.2013, 07:44

Bullop

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Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Hallo,

habe hier mal eine Übungsaufgabe zum Thema Stetigkeit und Differenzierbarkeit.

Die Aufgabe lautet :

Gegeben ist eine Zusammengesetzte Funktion

f (x) ={ x³ - 2x²+ 4x ... für x <1
......... { x² + bx + c ......für x größer gleich 1

Die Funktion soll an der Stelle x = 1 stetig und differenzierbar sein.

a) Berechnen Sie die Fkt. mit b und c

b) Ermitteln Sie für die Fkt. Extrempunkte, Nst. und Wendepunkte.

c) Skizzieren Sie die Fkt. $\begin{eqnarray*} [ - \frac{3}{2} ; 3] \end{eqnarray*}$ in 0,5 Schritten bei der Funkton der y-Achse 1cm =^ 2 Einheiten. Kennzeichnen sie die Funktionsäste farblich.

Ps: Die Punkte an den 3 Stellen links neben der geschweiften Klammer, hinter der g(x) und h(x) Funktion dienen nur zur Übersichtlichkeit.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Meine bisherigen Ergebnisse :

zu a) b = 0 und c = 1 , also lautet die Fkt.gleichung x² + 0 + 1 ---> x² +1.

zu b)

Mit der Funktion x²+1 nun die Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte bestimmen.

Als Nullstelle habe ich keine Lösung heraus, da unter der Wurzel - 1 herauskommt.

Bei der Extrempunktberechnung muss man ersteinmal Die 1. und 2.ABleitung bilden:

f ' (x) = 2x

f'' (x) = 2

Dann setzt man die 1.Ableitung = 0

2x= 0 / -2

$\begin{eqnarray*} x = -2 \end{eqnarray*}$

Nun müsste man die -2 in die 2. Ableitung einsetzen, jedoch ist in der 2.Ableitung kein x vorhande und somit ist doch eigentlich schon die Lösung gegeben, nämlich 2.

Und 2 ist größer 0 , d.h. es liegt ein Tiefpunkt vor.

Nun kann man die 2 noch in die Ausgangsgleichung,also $\begin{eqnarray*} x² + 1 \end{eqnarray*}$ einsetzen.

Und man erhält T ( 2;5)

-------------

Wendepunktberechnung:

Hier muss man die f '' (x) = 0 setzen.

f '' (x) = 2 = 0

Macht keinen Sinn alsomüsste doch das Ergebnis gleich 0 sein, und damit ergibt sich doch keine Lösung oder ?

zu c)

Hier bin ich mir unsicher, ob ich dann die T ( 2; 5) mit benutzen sollte.

FG :Bullop

09.11.2013, 09:04

Bürgi

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RE: Stetigkeit und Differenzierbarkeit
Guten Morgen!

1. Der Funktionsterm des quadratischen Teils ist falsch. Offensichtlich hast Du einen Vorzeichenfehler gemacht.

2. Bei der Extrempunktberechnung schreibst Du

Dann setzt man die 1.Ableitung = 0

2x= 0 / -2

$\begin{eqnarray*} x = -2 \end{eqnarray*}$

Diese Berechnung ist falsch (sehr!)

09.11.2013, 11:01

Bullop

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Habe das x vergessen?

x²+ 0x + 1 -----> Da müsste doch die Funktionsgleichung x² + 1 lauten ?

Das Gleichungssystem heißt ja dazu :

1. b + c = 2
2. b + c = 1

und als Ergebnis erhlate ich für

b = 0 und für c = 1

---------------

Ja stimmt müsste durch 2 teilen, dann käme man auf x = 0 . Würde aber keinen großen Einfluss auf
die momentane 2. Ableitung haben, da f '' (x) =2 ist

09.11.2013, 15:45

Bürgi

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Hallo,

ich nehme an - erwähnen tust Du das nicht - dass die 2. Gleichung Deines Gleichungssystem sich auf die Ableitung bezieht.

Bei der Ableitung des quadratischen Terms hast Du einen Fehler gemacht.

09.11.2013, 16:00

Bullop

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x² + bx +c

Abgeleitet ergibt es doch h ' (x) 2x + b + c ?

09.11.2013, 16:04

Bürgi

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Nein.

c ist eine Konstante deren Ableitung null ergibt.

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09.11.2013, 16:09

Bullop

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Okay danke dir, dann habe ich mir eine falsche Notiz gemacht Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also : 2 +b ?

09.11.2013, 16:14

Bürgi

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Gut, jetzt stimmt der Term.

Die Größe der Ableitung für x = 1 kannst Du berechnen mit Hilfe des kubischen Teils von f. Poste mal Deine vollständige Funktion f.

EDIT: Ich muss leider jetzt weg. Vielleicht kann Dir jemand anderes weiterhelfen! Wink

Wink

09.11.2013, 16:25

Bullop

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Istmit der vollständigen Funktion von f die hier gmeint?

x³ - 2x² + 4x Wenn ich hier 1 einsetze erhalte ich 3. Aber somit ermittle ich doch die Stetigkeit?

Ich kann diese Form nur mithilfe von Gleichungssystemen rechnen.

1b + 1c = 2
2 + b = 3

Ist das so möglich?

Oder mir ist gerade eingefallen, dass man das Gleichungssystem gar nicht benötigt.

Man kann doch 2 + b = 3 gleich das b ermitteln. Da kommt raus :

b = 1

und die obrige Gleichung b + c = 2 nach c umstellen

c = 2 - b ---Y c = 1 oder?

09.11.2013, 20:37

Bürgi

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Wieder da!

1. Der Funktionswert von f an der Stelle x = 1 muss 3 sein. Daraus ergibt sich die 1. Gleichung des LGS.

2. Die Steigung des linken Astes von f an der Stelle x = 1 ist ebenfalls 3. Daraus ergibt sich die 2. Gleichung des LGS.

3. Deine Ergebnisse sind jetzt richtig.

4. Mit der vollständigen Funktion f meinte ich eigentlich, dass Du schreibst

$\begin{eqnarray*} f(x)=\left \lbrace \begin{array}{rcl}x^3-2x^2+4x~&\text{fuer}~&x < 1 \\ x^2 +x+1 ~&\text{fuer}~&x \ge 1\end{array} \right. \end{eqnarray*}$

... und jetzt alle weiteren Berechnungen unter Beachtung des Definitionsbereiches.

10.11.2013, 00:35

Bullop

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Okay, danke dir.

Das heißt dann, dass ich für die Nullstellen, Extrempunkte und Wendeunkte die FUnktion :

$\begin{eqnarray*} x² +x +1 \end{eqnarray*}$ verwenden müsste.

Nullstellen berechnung:

x² + x + 1 = 0

- $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ + - $\begin{eqnarray*} \sqrt{1/4 -1} \end{eqnarray*}$

----> keine Lösung

Extrempunktberechnung :

f ' (x) = 2x + 1 = 0

f '' (x) = 2

f '' > 0 ---> T

T ( 2 ; 7)

Hmm ich glaube, dass man hierfür doch die 1 Gleichung nehmen sollte oder?

10.11.2013, 09:42

Bürgi

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Guten Morgen,

nein, das heißt das nicht.

Du untersuchst f auf Nst, Est und Wst für x < 1.

Anschließend untersuchst Du f auf Nst, Est und Wst für x >= 1.

Für jeden Teilbereich des Definitionsbereiches der Funktion musst Du einen anderen Funktionsterm nehmen. Ich zitiere:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\left \lbrace \begin{array}{rcl}x^3-2x^2+4x~&\text{fuer}~&x < 1 \\ x^2 +x+1 ~&\text{fuer}~&x \ge 1\end{array} \right. \end{eqnarray*}$

Abschließend musst Du noch untersuchen, welche Krümmung bei x = 1 vorliegt.

10.11.2013, 14:23

Bullop

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Für $\begin{eqnarray*} x ³ - 2x² + 4x \end{eqnarray*}$ habe ich folgendes erausbekommen :

Nullstellen : $\begin{eqnarray*} x1 = 0 \end{eqnarray*}$ , da ich die Formel ausgeklammert habe.

Wenn ich nun die pq- Formel anwende erhlate ich keine Lösung, da unter der Wurzel eine negative Zahl herauskommen würde.

Extremstellen :

$\begin{eqnarray*} f ' (x) = 3x² - 4x + 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f '' (x) = 6x - 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f ''' (x) = 6 \end{eqnarray*}$

Erste Ableitung null setzen :

Hier erhalte ich auch unter der Klammer $\begin{eqnarray*} 4/9 - 12/9 \end{eqnarray*}$ , d.h. wieder eine negative Zahl.

D.h. keine Lösung.

Jetzt habe ich die 2. ABleitung x1 = 0 eingesetzt und erhalte $\begin{eqnarray*} -4 < 0 ---> H \end{eqnarray*}$

Bei der Wendepunktberechnung erhalte ich :

$\begin{eqnarray*} W ( 6 ; 56/27) \end{eqnarray*}$

Würde das für die die x < 1 stimmen ?

10.11.2013, 15:04

Bürgi

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Hallo,

1. Deine Ableitungen stimmen.

2. Die Nullstelle ist richtig. Dass Du keinen Extrempunkt bekommst ist auch richtig. Deshalb verstehe ich Dein Ergebnis

Zitat:

Jetzt habe ich die 2. ABleitung x1 = 0 eingesetzt und erhalte $\begin{eqnarray*} -4 < 0 ---> H \end{eqnarray*}$

überhaupt nicht.

3. Wendepunkte werden berechnet, indem man die 2. Ableitung null setzt:
$\begin{eqnarray*} 0 = 6x - 4 \end{eqnarray*}$
Wie Du daraus einen x-Wert von 6 für den Wendepunkt bekommst, verstehe ich nicht.

4. Du schreibst:

Zitat:

Bei der Wendepunktberechnung erhalte ich : $\begin{eqnarray*} W ( 6 ; 56/27) \end{eqnarray*}$
Würde das für die die x < 1 stimmen ?

Hiermit behauptest Du, dass 6 < 1 ist. Also nicht wirklich!

10.11.2013, 15:30

Bullop

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Zitat:

Die Nullstelle ist richtig. Dass Du keinen Extrempunkt bekommst ist auch richtig. Deshalb verstehe ich Dein Ergebnis
Zitat:
Jetzt habe ich die 2. ABleitung x1 = 0 eingesetzt und erhalte $\begin{eqnarray*} -4 < 0 ---> H \end{eqnarray*}$

überhaupt nicht.

Dachte, dass , man die x= 0 trotzdem noch in die 2. Ableitung einsetzen müsste, um einen Extrempunkt zu bestimmen.

Zitat:

Wendepunkte werden berechnet, indem man die 2. Ableitung null setzt:
$\begin{eqnarray*} 0 = 6x - 4 \end{eqnarray*}$
Wie Du daraus einen x-Wert von 6 für den Wendepunkt bekommst, verstehe ich nicht.

Ja, weiß auch nicht was da war. Der x Wert lautet ja 2/3.

Der ist ungleich null :

W ( 2/3 ; 56/27)

10.11.2013, 15:41

Bürgi

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Zitat:

Dachte, dass , man die x= 0 trotzdem noch in die 2. Ableitung einsetzen müsste, um einen Extrempunkt zu bestimmen.

Die Funktion hat keinen Extrempunkt, also kannst Du auch keinen bestimmen.

Zitat:

Der x Wert lautet ja 2/3. Der ist ungleich null : W ( 2/3 ; 56/27)

Die Koordinaten des Wendepunktes stimmen. Selbstverständlich ist der x-Wert nicht null. Es sollte auch nur die 2. Ableitung null werden, was Du auch richtig berechnet hast.

10.11.2013, 15:47

Bullop

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Ok, dann habe ich jetz für den ersten Funktionsterm , Nst, Extrem und Wendepunkte berechnet.

Für den 2. Funktionsterm habe ich folgendes :

Nst : ist hier keine Lösung,da 1/4 - 1 unter der Wurzel etwas negatives ergibt.

Bei der Extremwertberechnung lautet die 1. ABleitung :

f ' (x) = 2x + 1

f '' (x) = 2

Wenn ich nun die erste ABleitung 0 setze und ausrechene ergibt sich x = -1/2

Jedoch ist nun die 2. Ableitung 2, und es ist kein x vorhanden, wo ich die - 1/2 einsetzen kann.
Heißt es dann das ich keine Extrempunkte berechnen kann?

Bei der Wendepunktsberechnung müsste das dann auch zutreffen.

10.11.2013, 15:51

Bürgi

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Dieser quadratische Term hat die Definitionsmenge x >= 1. Da kommt -1/2 überhaupt nicht vor.

10.11.2013, 15:59

Bullop

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Also ist dieser Funktionsterm gar nicht für die Lösung relevant?

10.11.2013, 16:03

Bürgi

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Verstehe ich nicht.

Wenn Du jetzt weißt, dass es für x >= 1 keine Nst, keine Est und keine Wst gibt, ist das auch eine Lösung. Du kannst nämlich jetzt genaue Auskunft über den Verlauf der gesamten Funktion geben.

Hast Du Dir eigentlich schon den Graphen der gesamten Funktion gezeichnet und mit Deinen rechnerischen Ergebnisse verglichen?

10.11.2013, 16:09

Bullop

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Nein das habe ich nicht nicht gemacht.

Als brauchbare Lösung habe ich jetzt nur die Wendestellen :

W ( 2/3 ; 56/27 )

Ich müsste jetzt dazu , zur Gleichung x³ - 2x² +4x das Krümmungsverhalten noch berechnen oder?

10.11.2013, 16:23

Bürgi

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Du hast eine Nullstelle bei x = 0.

Das Krümmungsverhalten für x >= 1 hast Du schon berechnet. Für x < 1 hast Du das Krümmungsverhalten insofern berechnet, als Du damit den Wendepunkt bestimmt hast. Was noch fehlt, ist eine Untersuchung des Krümmungs an der Anschlussstelle.

10.11.2013, 16:26

Bullop

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Ich erhalte einen rechts lins Übergang, sprich ein konkav heraus

Also von :

$\begin{eqnarray*} - unendlich < x < 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 < x < unendlich \end{eqnarray*}$ ?

10.11.2013, 16:28

Bürgi

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Sorry, aber hier müsstest Du ein bisschen ausführlicher erläutern.
So wie Du das geschrieben hast, verstehe ich nicht, was Du meinst.

10.11.2013, 16:33

Bullop

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$\begin{eqnarray*} - unendlich < x < 0 \end{eqnarray*}$ konkav
$\begin{eqnarray*} 0 < x < unendlich \end{eqnarray*}$ konvex

10.11.2013, 16:36

Bürgi

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Das Krümmungsverhalten ändert sich in einem Wendepunkt. Der ist aber nach Deinen Berechnungen bei $\begin{eqnarray*} x = \frac23 \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

10.11.2013, 16:42

Bullop

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Ja stimmt du hast recht, das Ergebnis der 2. Ableitung, habe mich verschaut.

Also ;

$\begin{eqnarray*} - unendlich < x < 2/3 \end{eqnarray*}$ konkav
$\begin{eqnarray*} 2/3 < x < unendlich \end{eqnarray*}$ konvex

10.11.2013, 16:50

Bürgi

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Du schreibst:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac23 < x < unendlich \end{eqnarray*}$ konvex

Hast Du das für den Übergang von der kubischen Funktion zur quadratischen Funktion an der Stelle x = 1 überprüft? Und wenn ja, wie denn?

10.11.2013, 16:58

Bullop

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Nein, ich weiß gar nicht wie man so einen Übergang vom kubischen zur quadratischen Funktion überprüft.

Ich gehe immer davon aus, das wenn z.b. hier nur die x = 2/3 als Ergebnis herauskommt, die 2/3, nachdem sie aus dem - unendlichen gekommen sind , von da aus auch wieder in das unendliche gehen.

10.11.2013, 17:07

Bürgi

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Du hast eine zusammengesetzte (stückweise definierte) Funktion.
Von -oo (<--- das soll minus unendlich sein!) bis 1 handelt es sich um eine kubische Funktion und
von 1 bis +oo handelt es sich um eine quadratische Funktion.

Deine Berechnungen haben dafür gesorgt, dass an der Übergangsstelle diese beiden Funktionsteile stetig und differenzierbar aneinander anschließen.

Die Frage, die noch zu klären wäre: Stimmt das Krümmungsverhalten links von x = 1 überein mit dem Krümmungsverhalten rechts von x = 1.

(Eine persönliche Frage: In welcher Klasse bist Du und hast Du solche Aufgaben schon früher einmal bearbeitet?)

10.11.2013, 17:16

Bullop

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Bin in der 11. Klasse und hatten dieses Thema bereits besprochen gehabt. Jedoch nicht in dieser Form. Bisher sollten wir zum 1.nur nachweisen, ob die gegeben Funktion Stetig oder Differenzierbar ist. Und zum 2. aus zusammengesetzen Funktionen mit variablen, wie a, b oder c, daraus eine Funktionsgleichung bilden.

Skizzieren o.ä. haben wir zu diesem Thema nicht behandelt. Jedoch kommt solch eine Aufgabenstellung morgen in der Klausur dran.

10.11.2013, 17:22

Bürgi

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Bis jetzt hast Du ja die wesentlichen Daten der Funktion gefunden.

Da ich jetzt für eine Weile verschwinden muss, schicke ich Dir noch eine Skizze der beiden vollständigen Funktionen. (Der eine quadratische Punkt ist der Wendepunkt, der andere der Anschlusspunkt) Wie nun der Graph der zusammengesetzten Funktion aussehen muss, darfst Du selbst ermitteln.

10.11.2013, 17:29

Bullop

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Danke dir für dein Hilfe zu diesem Thema.

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