Folgen auf Konvergenz und Grenzwerte untersuchen

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Luciana Auf diesen Beitrag antworten »
Folgen auf Konvergenz und Grenzwerte untersuchen
Meine Frage:
Hallo Leute. In der Aufgabe bezeichnet für die Gauß-Klammer von , diese ist definiert als .

Ich muss jetzt die folgenden reellen Zahlenfolgen auf Konvergenz untersuchen und die möglichen Grenzwerte bestimmen:



mit









Meine Ideen:
Ich hatte noch nie Aufgaben solcher Art, bis auf Grenzwerte in der Schule. An Konvergenzkriterien, hatte ich jetzt auch nur bis jetzt das Sandwichkriterium, was ja auch Einschließungskriterium bezeichnet wird. Wäre Euch auf jeden Fall für paar aufbauende Worte dankbar und für ein paar Tipps und Ansätze noch dankbarer Augenzwinkern
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

1.
Kürze den Bruch durch n²

2.
x ausklammern und den Bruch [x]/x abschätzen

3.
Kürzen, analog wie in 1.

4.
Fallunterscheidung!

5.
Kürzen, analog wie in 1.

6.
Erweitern mit der Summe und Anwenden einer binomischen Formel [--> 5/4]

mY+
KuddelMud Auf diesen Beitrag antworten »

@Mythos
Ich habe ebenfalls Probleme bei Nr. 5.
In wie fern muss man den Bruch 5 um n^2 kürzen?
Wenn ich das mache komme ich doch aufgrund der definition vom lim, also lim(1/n^2)+lim(2^3/n^2)...auf lim(n/n^2), was dann wohl gegen 0 geht.
Ist das so richtig? Wenn ich durch n^3 kürze komme ich ebenfalls aufs gleiche.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 5)

Zitat:
Original von KuddelMud
Wenn ich das mache komme ich doch aufgrund der definition vom lim, also lim(1/n^2)+lim(2^3/n^2)...auf lim(n/n^2), was dann wohl gegen 0 geht.

0 als Gesamtgrenzwert ist falsch. unglücklich

Du solltest erstmal den Zähler durch den (leidlich bekannten) Summenformelterm für ersetzen, und erst danach zur Grenzwertberechnung übergehen.
KuddelMud Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm
Könntest du mir villeicht sagen in wie fern das falsch ist?
Im Endeffekt komme ich ja immer auf lim(1^3 bis n-1/n^3), was dannja 0 ist und das letzte Glied lim(n^3/n^3)=1 und im nenner auf n ? Und 1/n geht dann ja nach 0. Das sind doch genau die Rechenregeln vom limes.

Ne, die Summenformel kenne ich nicht. Aber habe n^2(n+1)^2/4 gefunden, was wohl das gleiche ist.
Ich weiß wirklich nicht wie du das meinst.

Warum kann man es nicht so machen wie ich es gemacht habe? Oder wie muss ich es nach obiger Formel anders machen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von KuddelMud
Im Endeffekt komme ich ja immer auf lim(1^3 bis n-1/n^3), was dannja 0 ist und das letzte Glied lim(n^3/n^3)=1 und im nenner auf n ? Und 1/n geht dann ja nach 0. Das sind doch genau die Rechenregeln vom limes.

Die "Grenzwertregel"

,

die du hier meinst anwenden zu dürfen, ist i.a. falsch - selbst dann, wenn alle hier angeführten beteiligten Grenzwerte existieren sollten. Das ist was völlig anderes als bei fester, endlicher (von unabhängiger) Summandenzahl

,

da ist es richtig, das ist begründbar durch wiederholte Anwendung der einfachen Summenregel für zwei Reihen

,

während deine komische Regel damit nicht begründbar ist. unglücklich


Zitat:
Original von KuddelMud
Könntest du mir villeicht sagen in wie fern das falsch ist?

Der einfachste Weg zum Nachweis der Falschheit ist, dass unter Anwendung richtiger statt ominöser Grenzwertregeln ein anderes Gesamtergebnis herauskommt. Augenzwinkern
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Bei 5) habe ich um 3 Uhr früh nicht genug aufgepasst, sorry ...
Also ist zunächst die Summenformel für die 3. Potenzen in den Zähler zu schreiben; dann gelingt anschließend der Grenzübergang.

mY+
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

@Luciana
Bitte bleibe bei EINEM Namen!

--------------

Die Tatsache, die sowohl von Luciana als auch von mir übersehen wurde, ist, dass im Zähler eine unendliche Summe steht, welche nicht durch einzelne Glieder, deren Folge gegen Null geht, ersetzt werden darf.
KuddelMud Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm okay, danke.
Das heißt dann auf Deutsch, ich kann es nicht anwenden weil die Punkte hier sind? Bzw nicht weiß wvl. Werte es hier gibt.

Was dan wohl daraufhinausläuft, dass wenn ich mit * (1/n^3)/(1/n^3) multipliziere wohl auch nicht sagen darf, dass 0 rauskommt?

Ja, also habe versucht eben mit dem n^2(n+1)^2/4 zu arbeiten aber wenn ich da weiterrechne komme ich auf n^2/7.

Ahh moment, soll ich diese Folge als Zähler einsetzen und dann weiterhin n^4 Nenner?
Rivago Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry wenn ich mich hier kurz einklinke, aber möchte nur kurz was wissen.

Bei der 1. Aufgabe ist der Grenzwert , oder?

Wir haben gelernt gekriegt, das ist, wenn die größte Potenz im Nenner steht.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, bei 1) ist g = 0

@Fragesteller

Und ja, in den Zähler ist die Summe nach der Formel zu setzen und mit dem Nenner n^4 weiterzurechnen.
Den Denkfehler habe ich dir ja schon im vorigen Beitrag erklärt!

mY+
Luciana Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folgen auf Konvergenz und Grenzwerte untersuchen
Oh hallo, hier ist ja was los. Ich habe seitdem ich die Aufgabe gestellt habe nichts geschrieben, dachte die Aufgabe sei in Vergessenheit geraten.

Bei habe ich auch heraus, dass konvergiert.

Bei frage ich mich was bedeuten soll. x aus den positiven ganzen Zahlen ohne die natürlichen Zahlen?

Die natürlichen Zahlen sind ja und die rationalen Zahlen umfassen alle Zahlen, die sich als Bruch darstellen lassen, der sowohl im Zähler als auch im Nenner ganze Zahlen enthält. Also ist unsere Mengen der Zahlen, Brüche, die im Zähler und im Nenner nur negative ganze Zahlen annehmen dürfen? Wobei wir noch die Gaußklammer berücktsichtigen müssen.

Ich weiß da nicht so recht wie ich vorgehen soll.

Bei bekomme ich dann heraus. Ich frage mich nur wie man das kürzen soll da?

Bei soll ich irgendwie wählen mit ? Ich frage mich wie man auf solche Ideen als Erstsemester kommen soll? Ich meine es ist quasi immer eine Vokabel, wenn man auf diese nicht kommt, ist man chancenlos. Und wie soll man bitte darauf kommen, wenn man Null Erfahrung hat? Auf die Fallunterscheidung muss man irgendwie erst kommen - das sehen.

Bei wie in aber wie soll das gehen? Im Zähler ist ja ein unendlich oft sich wiederholender Prozess.

Bei erweitern mit der Summe?

Doch dann bleibe ich bei dem Schritt stehen


Ich darf dann einfach aus der Wurzel auch ausklammern?

zu

Die fallen dann alle weg, weil sie ja gegen Null konvergieren und dann bleibt wirklich als Endergebnis übrig?
Grautvornix Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folgen auf Konvergenz und Grenzwerte untersuchen
Neben der Summenformel für die 3. Potenzen könntest Du bei 5 auch folgendes betrachten:




Und bei der 6 kannst du mit AM-GM folgern:

Luciana Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folgen auf Konvergenz und Grenzwerte untersuchen
Zitat:
Original von Grautvornix
Und bei der 6 kannst du mit AM-GM folgern:


Ich weiß zwar nicht was AM-GM heißen soll und wieso du das so machst, ich bleibe lieber bei mythos Ansatz, der ja richtig ist und für mich verständlich ist. Habe ja das Gleiche herausbekommen.

Zitat:
Original von Grautvornix
Neben der Summenformel für die 3. Potenzen könntest Du bei 5 auch folgendes betrachten:



Wir hatten noch keine Integrale in der Vorlesung, von daher weiß ich nicht ob es erlaubt ist - eher nicht. Die andere Argumentation verstehe ich nicht oder anders gesagt ich kann es nicht nachvollziehen.
Grautvornix Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folgen auf Konvergenz und Grenzwerte untersuchen
Zitat:
Original von Luciana
Ich weiß zwar nicht was AM-GM heißen soll ...


Damit ist die Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel gemeint:



Das wäre übrigens auch googlebar gewesen.

Bei dem anderen Lösungsweg brauchst Du übrigens den Begriff der Stetigkeit.
War das denn schon dran in der Vorlesung?
Luciana Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folgen auf Konvergenz und Grenzwerte untersuchen
Nein Stetigkeit hatten wir noch nicht. Wüsste auch nicht wieso ich diese dafür brauchen soll.
Grautvornix Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folgen auf Konvergenz und Grenzwerte untersuchen
Die brauchst du dabei, um den Limes unter die Wurzel ziehen und folgende Gleichheit nutzen zu können:

Luciana Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folgen auf Konvergenz und Grenzwerte untersuchen
Ist jetzt auch egal, dann warte ich bis die Stetigkeit drankommt, bis zur Klausur wird sie schon drankommen, dann darf ich so argumentieren. Kann mir vielleicht jemand bitte paar Anregungen zu meinem langem Post geben, wo ich alles aufgegriffen habe?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Luciana
Kann mir vielleicht jemand bitte paar Anregungen zu meinem langem Post geben, wo ich alles aufgegriffen habe?

Nun, nicht alles: Bei 5) waren wir schon mal weiter - inklusive du selbst:

Zitat:
Original von KuddelMud
Ja, also habe versucht eben mit dem n^2(n+1)^2/4 zu arbeiten aber wenn ich da weiterrechne komme ich auf n^2/7.

Zumindest das ist richtig und brauchbar, das musst du doch nur noch richtig einsetzen und zum Grenzwert übergehen:



Keine Idee, wie es weitergeht? n²/7 kommt da jedenfalls nicht raus.
KuddelMud Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin nicht Luciana, was ich schon im ersten Post gesagt habe.

Komme auf 1/4, wenn ich einfach nur die Formel einsetze. Und WolframAlpha kommt auch drauf.
Mich würde aber noch interessieren, wie ich auf das Ergebnis komme, wenn ich die Formel nicht weiß, bzw. mir während einer Klausur nicht einfällt, dies als Reihe und dann als Formel zu schreiben.
Gibts da sonst noch eine Methode?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von KuddelMud
Mich würde aber noch interessieren, wie ich auf das Ergebnis komme, wenn ich die Formel nicht weiß, bzw. mir während einer Klausur nicht einfällt, dies als Reihe und dann als Formel zu schreiben.

Wie das so ist, wenn einem nichts passendes einfällt: Dann lässt man die Punkte liegen.

Im übrigen hat Grautvornix ja eine passende und durchaus ausreichende Integralabschätzung vorgeschlagen - die funktioniert auf jeden Fall auch.
Luciana Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Zumindest das ist richtig und brauchbar, das musst du doch nur noch richtig einsetzen und zum Grenzwert übergehen

Das kann ich nicht nachvollziehen. Wieso gilt diese Gleichheit?

Zitat:
Original von HAL 9000


Keine Idee, wie es weitergeht? n²/7 kommt da jedenfalls nicht raus.


Nun wenn ich Trick 17 anwende bekomme ich doch



HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ist Ok.
Luciana Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folgen auf Konvergenz und Grenzwerte untersuchen
Zitat:
Original von Luciana
Bei frage ich mich was bedeuten soll. x aus den positiven ganzen Zahlen ohne die natürlichen Zahlen?

Die natürlichen Zahlen sind ja und die rationalen Zahlen umfassen alle Zahlen, die sich als Bruch darstellen lassen, der sowohl im Zähler als auch im Nenner ganze Zahlen enthält. Also ist unsere Mengen der Zahlen, Brüche, die im Zähler und im Nenner nur negative ganze Zahlen annehmen dürfen? Wobei wir noch die Gaußklammer berücktsichtigen müssen.

Ich weiß da nicht so recht wie ich vorgehen soll.

Bei bekomme ich dann heraus. Ich frage mich nur wie man das kürzen soll da?

Bei soll ich irgendwie wählen mit ? Ich frage mich wie man auf solche Ideen als Erstsemester kommen soll? Ich meine es ist quasi immer eine Vokabel, wenn man auf diese nicht kommt, ist man chancenlos. Und wie soll man bitte darauf kommen, wenn man Null Erfahrung hat? Auf die Fallunterscheidung muss man irgendwie erst kommen - das sehen.



Bleiben noch 2,3 und 4 die von meiner Seite aus noch unklar und ungelöst sind unglücklich
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

...
Also ist unsere Mengen der Zahlen, Brüche, die im Zähler und im Nenner nur negative ganze Zahlen annehmen dürfen?
...

Nein, diese Beschreibung stimmt so nicht bzw. ist umständlich, auch wenn sich schließlich dennoch die "richtige" Menge ergibt. Es ist einfach die Menge der positiven rationalen Zahlen, welche nicht ganzzahlig sind.
Zum Grenzwert hatte ich dir einen Tip gegeben.

3.
Dividiere (kürze) zunächst den Bruch durch , auf die Potenz wird ein Grenzwertsatz angewandt.

4.
Fallunterscheidung:
n .. gerade
n .. ungerade

Anmerkung: Anzahl der Häufungspunkte untersuchen.
Luciana Auf diesen Beitrag antworten »

Na dann ran an den Speck.

3)





Unsauber aufgeschrieben - ich weiß.

4)

Fallunterscheidung

n gerade und n ungerade? Für gerade n's ergibt unsere Folge nur 1. Ist also eine Einsfolge. Für ungerade n's wächst es ja sehr schnell gegen Null.
Und was folgt dann daraus?

2) Wir sind auf der Menge der positiven rationalen Zahlen. Wie soll ich jetzt des untersuchen? Die Gaußklammer rundet in unserem Fall auf ganze positive Zahlen ab. Ich weiß dennoch nicht wie ich das auf Konvergenz prüfen soll. Riecht ja aber arg nach Divergenz.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

3) ok

4)
Es folgt daraus, dass es zwei Häufungspuinkte gibt. Was bedeutet dies für die Konvergenz?

2)
Dazu hatte ich dir schon zuvor einen Tipp gegeben. Gelesen?
nx - [x] = x(n - [x]/x)
x ist eine positive, rationale Zahl, in welchem Bereich bewegt sich der Bruch für alle x und wohin geht damit die ganze Klammer bei n gegen unendlich?

mY+
Luciana Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folgen auf Konvergenz und Grenzwerte untersuchen
Zitat:
Original von mYthos
4)
Es folgt daraus, dass es zwei Häufungspunkte gibt. Was bedeutet dies für die Konvergenz?

Das sie nicht existiert? Die Folge divergiert, aber warum?

Zitat:
Original von mYthos
Dazu hatte ich dir schon zuvor einen Tipp gegeben. Gelesen?
nx - [x] = x(n - [x]/x)
x ist eine positive, rationale Zahl, in welchem Bereich bewegt sich der Bruch für alle x und wohin geht damit die ganze Klammer bei n gegen unendlich?

Ins unendliche? Divergiert also auch. Die Frage weshalb und warum, woran mache ich das fest?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Luciana

Die einen vergessen Klammern, du hingegen denkst dir welche hinzu, wo gar keine hingehören: mYthos schrieb richtigerweise

.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folgen auf Konvergenz und Grenzwerte untersuchen
Zitat:
Original von Luciana
...
Das sie nicht existiert? Die Folge divergiert, aber warum?
...

Denke an die Definition des Grenzwertes. Falls ein Grenzwert - er sei a - existiert, also die Folge konvergent ist, liegen in einer epsilon-Umgebung (mit hinreichend kleinem epsilon) von a fast alle Folgenglieder, außerhalb dieser nur endlich viele.
Bei einem Häufungspunkt liegen in solch einer Umgebung ebenfalls unendlich viele Folgenglieder, jedoch wie viele außerhalb sind, ist nicht festgelegt, es könnten wiederum unendlich viele sein.
Ein Grenzwert muss daher der einzige Häufungspunkt sein.

mY+
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