Definitionsbereich ins Quadrat

09.11.2013, 16:01

Thorsten_2

Definitionsbereich ins Quadrat

Hallo,

ich seitze gerade vor folgender Funktion:

$\begin{eqnarray*} f:N² -> N, f(n,m):= 2 hoch (n-1) *(2m-1) \end{eqnarray*}$

Ich soll daran injjektivität, surjektivität oder bijektivität ausmachen.
Was bedeutet das N², also die natürlichen Zahlen ins Quadrat für den Definitionsbereich?
Sowas habe ich noch nicht gesehen.

Vielen Dank!
Thorsten

09.11.2013, 16:04

Iorek

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$\begin{eqnarray*} \mathbb N^2=\mathbb N\times\mathbb N=\{(n,m)~|~n,m\in\mathbb N\} \end{eqnarray*}$ bezeichnet das kartesische Produkt. Es sind also alle Paare $\begin{eqnarray*} (n,m) \end{eqnarray*}$ enthalten, wobei $\begin{eqnarray*} n,m \end{eqnarray*}$ natürliche Zahlen sind.

09.11.2013, 16:06

Thorsten_2

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Das heißt dann, dass im Wertebereich nur noch ein Element des Paars vorhanden ist?

09.11.2013, 16:11

Iorek

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Ja, jedem Paar $\begin{eqnarray*} (n,m) \end{eqnarray*}$ wird hier eine natürliche Zahl zugewiesen.

09.11.2013, 16:20

Thorsten_2

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Dannn ist die Funktion:
Surjektiv, da hier jedes n,m höchstens eine natürliche Zahle besitzen kann.
Surjektiv, da für jeden n,m mindestens eine natürliche Zahl existiert.
Bijektiv, weil beide Aussagen richtig.

Kann man das irgendwie auch mathematisch beweisen?

09.11.2013, 16:23

Iorek

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Deine Aussagen sind keine wirklichen Begründungen.

Zunächst: die Funktion ist $\begin{eqnarray*} f:\mathbb N^2\rightarrow\mathbb N,f((n,m))=2^{n-1}\cdot(2m-1) \end{eqnarray*}$ ? Oder sieht die Funktion anders aus?

Dann: einfach behaupten, dass die Funktion surjektiv ist, ist keine Begründung und auch kein Nachweis. Um nachzuweisen, dass eine Funktion surjektiv ist, muss man zu einem beliebigen Element der Zielmenge jeweils ein Urbild angeben, d.h. konkret für diese Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} y\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , finde nun (mindestens) ein $\begin{eqnarray*} (n,m)\in\mathbb N^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f((n,m))=y \end{eqnarray*}$ .

09.11.2013, 16:30

Thorsten_2

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Die Funktion ist korrekt.
Wie gibt man genau ein Urbild an?

n=1
m=2

f((n,m))= 2^(1-1) * (2*2-1) =2
2 ist Element der natürlichen Zahlen?!

09.11.2013, 16:36

Iorek

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Du setzt einfach irgendwelche Zahlen ein, das hat mit einem Beweis nichts zu tun.

Zitat:

Original von Iorek
Sei $\begin{eqnarray*} y\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , finde nun (mindestens) ein $\begin{eqnarray*} (n,m)\in\mathbb N^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f((n,m))=y \end{eqnarray*}$ .

Das ist zu machen, um Surjektivität nachzuweisen. Dabei könnte es auch nützlich sein, zu unterscheiden ob $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ gerade oder ungerade ist.

09.11.2013, 16:38

Thorsten_2

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Kannst du mir erklären wie man etwas konkret beweist?!
Was meinst Du genau mit "finde nun mindestens ein (n,m) element N²" Ich hatte das wörtlich genommen.

In wie weit spielt es eine Rolle, dass y gerade oder ungerade ist?
Ich weiß echt nicht weiter...

09.11.2013, 16:44

Iorek

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Das kannst du auch wörtlich nehmen, allerdings dann auch mit Bezug auf das, was ich vorher geschrieben habe. Nicht einfach irgendwelche $\begin{eqnarray*} (n,m) \end{eqnarray*}$ sondern " $\begin{eqnarray*} (n,m)\in\mathbb N2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f((n,m))=y \end{eqnarray*}$ ." Ist dir der Begriff der Surjektivität überhaupt klar, was bedeutet es wenn eine Funktion surjektiv ist?

Mal ein erster Ansatz:

Sei $\begin{eqnarray*} y\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ ungerade. Wir suchen nun ein passendes Paar $\begin{eqnarray*} (n,m) \end{eqnarray*}$ , dass auf dieses $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ abgebildet wird. Da $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ungerade ist, existiert ein $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y=2k-1 \end{eqnarray*}$ . Wie könnte man nun das Paar $\begin{eqnarray*} (n,m) \end{eqnarray*}$ wählen?

09.11.2013, 16:58

Thorsten_2

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Vielleicht n=1 und m=2?
Aber wo ist da der Zusammenhang mit k element N mit y = 2k - 1? Ich muss n und m so wählen, dass wenn ich es jeweils als k einsetze für y eine ungerade Zahl herauskommt? Ich blicke bei dieser ganzen Beweismethodik nicht durch. Ich sehe ja eigentlich automatisch was herauskommt, wenn ich n und m einsetze.

09.11.2013, 17:29

Thorsten_2

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Oder kannst Du oder irgendjemand mir exemplarisch einen kompletten mathematischen Beweis aufzeigen? Vielleicht verstehe ich dann wie ich genau bei so etwas vorgehen muss. Es macht einfach noch nicht klick.. :-(

09.11.2013, 18:23

Iorek

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Wenn du n=1,m=2 einsetzt, dann bekommst du $\begin{eqnarray*} f((1,2))=3 \end{eqnarray*}$ . Damit ist für die Surjektivität nichts gezeigt (wobei n=1 in eine sehr gute Richtung geht, lediglich das m muss noch überarbeitet werden).

Noch einmal: ist dir der Begriff "surjektiv" klar? Hast du die Definition einer surjektiven Funktion nachgeschlagen und verstanden? Ansonsten solltest du das zunächst einmal tun. Dann dürfte dir auch klar werden, wieso du nicht einfach irgendwelche Zahlen einsetzen kannst.

09.11.2013, 20:16

Thorsten_2

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Die Definition von surjektiv lautet so:
Für jedes y element N gibt es ein x element M mit f(x) = y.

Heißt das dann, dass ich n=1 und m=1 nehmen soll?
Damit gibt es für jedes y, genau ein x (n=1 und m=1). Liege ich da jetzt richtig?

09.11.2013, 20:54

Iorek

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Nein.

Wenn du $\begin{eqnarray*} n=1,m=1 \end{eqnarray*}$ nimmst, dann bekommst du doch nur $\begin{eqnarray*} f((1,1))=1 \end{eqnarray*}$ . Damit sind wir von allen anderen $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ sehr weit entfernt. Damit wir aber zumindest endlich mal die ungeraden Zahlen abdecken können:

Sei $\begin{eqnarray*} y\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ ungerade. Dann existiert ein $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y=2k-1 \end{eqnarray*}$ (den Buchstaben $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ verwende ich nur, um es deutlicher abzugrenzen). Damit gilt dann: $\begin{eqnarray*} f((1,k))=2^{1-1}\cdot(2k-1)=2k-1=y \end{eqnarray*}$ . Also haben wir für alle ungeraden $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ein Urbild gefunden.

09.11.2013, 21:04

Thorsten_2

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Wie deckt sich das nun mit der Definition von surjektiv und was ist genau ein Urblid?
Wäre somit n =1 und m =3 (da 3 ungerade) richtig gewesen?

09.11.2013, 21:45

Iorek

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Urbild

Was du mit $\begin{eqnarray*} n=1,m=3 \end{eqnarray*}$ sagen willst, kann ich nicht nachvollziehen. 3 ist zwar ungerade, aber das bringt dich für die Surjektivität nicht weiter.

09.11.2013, 23:56

Thorsten_2

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Das Urbild repräsentiert scheinbar das Ergebnis der Funktion, für bestimmte Werte von x.
Was mich hier eben irritiert ist, dass zwei Variablen (m und n) gegeben sind. Ich habe keine Ahnung wie ich mitr dem Urbild y = 2k -1 die surjektivität beweisen soll.

10.11.2013, 00:14

Iorek

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Nein, das Urbild repräsentiert kein Ergebnis einer Funktion. Das Urbild ist eindeutig definiert.

Für eine Funktion $\begin{eqnarray*} f:X\rightarrow Y \end{eqnarray*}$ ist für $\begin{eqnarray*} y\in Y \end{eqnarray*}$ das Urbild von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ unter $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gegeben durch $\begin{eqnarray*} f^{-1}({y})=\{x\in X~|~f(x)=y\} \end{eqnarray*}$ . Das Urbild von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ist also eine Menge, und zwar die Menge aller $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Werte, die auf genau dieses $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ abgebildet werden.

Was hat das jetzt alles mit Surjektivität zu tun? Damit eine Funktion surjektiv ist, muss diese Urbildmenge für jedes beliebige $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ mindestens ein Element enthalten. Man muss also für jedes beliebige $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ein Urbild angeben können. Brechen wir es noch ein letztes Mal auf Zahlenbeispiele runter:

Du behauptest, diese Funktion ist surjektiv. Dann muss jede Zahl aus dem Zielbereich mindestens einmal getroffen werden. Hier haben wir als Zielbereich die natürlichen Zahlen gegeben. Also:

Suche nach passenden Paare $\begin{eqnarray*} (n,m) \end{eqnarray*}$ , sodass...

$\begin{eqnarray*} f((n,m))=61 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f((n,m))=12 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f((n,m))=72 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f((n,m))=23536 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f((n,m))=346126234 \end{eqnarray*}$

Schließlich müssen diese Zahlen wirklich getroffen werden, wenn die Funktion surjektiv sein soll.

Jetzt haben wir das nur mit Beispielen gemacht, ein Beispiel ist für den Nachweis der Surjektivität aber wertlos und höchstens als Ideengeber dienen. Das muss jetzt also noch für eine beliebige Zahl $\begin{eqnarray*} y\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gemacht werden. Beliebig heißt hier nicht, dass du dir einfach eine "beliebige" Zahl aussuchen kannst, sondern dass du es für eine allgemein gehaltene Zahl $\begin{eqnarray*} y\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ nachweisen musst. Dafür habe ich dir den Rat gegeben, das zu unterteilen in gerade und ungerade $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ .

Insgesamt: ich gebe dir eine beliebige (d.h. nicht näher spezifizierte), natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ . Alles was du vielleicht noch wissen kannst ist, ob diese Zahl gerade oder ungerade ist. Was musst du jetzt für $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ einsetzen, damit genau dieses (nicht näher spezifizierte) $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ getroffen wird?

10.11.2013, 15:08

Thorsten_2

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Für n = 1 und für m > 0?
Da egal welche Zahl ich für m einsetze, solange sie größer als 0 ist, bekomme ich für y eine ungerade Zahl.

10.11.2013, 16:08

Iorek

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Das geht langsam in die richtige Richtung, ist aber auch noch keine wirkliche Begründung. Hast du es mal für die Beispiele die ich dir oben hingeschrieben habe explizit durchgerechnet und ein Urbild gefunden?

10.11.2013, 16:22

Thorsten_2

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Ich hatte dein Urbild verwendet:
y=2k-1

Ich habe es mit Deinen Beispielen probiert:
y=61, n=1, m=31
y=12, n=1, m=6,5
y=72, n=1, m=36,5
y=23536,n=1, m=11268,5
y=346126234, n=1, m=173068117,5

Demnach kann nur für ein gerades y ein entsprechendes "k" bzw. "m" existieren.
Sehe ich das richtig? Da Kommazahlen nicht in den natürlichen Zahlen definiert ist.

Somit muss n=1 sein und m>0 und element der natürlichen Zahlen sein.

10.11.2013, 16:30

Iorek

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Ok, das tut es jetzt für ungerade Zahlen. Wenn die Abbildung surjektiv sein soll, dann müsstest du aber auch für gerade Zahlen ein Urbild finden können. Wie sieht es damit aus?

10.11.2013, 16:54

Thorsten_2

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Für gerade Zahlen könnte evtl. das gehen:

$\begin{eqnarray*} y=2 hoch (k-1) \end{eqnarray*}$

Hier existiert für jedes y ein entsprechendes k.

Wie kann ich jetzt mit den beiden Urbildern weiter machen?

10.11.2013, 17:02

Iorek

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Du kannst aber nicht jede gerade Zahl als Zweierpotenz schreiben...

Im Rahmen welcher Veranstaltung hast du diese Aufgabe bekommen, was für Vorkenntnisse hast du? Mir scheint, dir fehlen viele Grundlagen zu Funktionen. Ist dir klar, was diese Abbildung überhaupt macht und wie man damit umgeht? Hast du dich mit den Begriffen der Abbildung, injektiv und surjektiv schonmal vor dieser Aufgabe beschäftigt und kannst da auf etwas zurückgreifen?

10.11.2013, 17:12

Thorsten_2

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Vorkurs für ein Mathematikmodul.
injektiv und surjektiv hatte ich vorher noch nie gehört und Abbildungen kenne ich nur aus der Gymnasialzeit.
Ich sehe ja ein das mir Vorkentnisse fehlen, aber das kann doch nicht sein, dass das wirklich so schwer ist.

Ist eine zweierpotenz automatisch immer eine gerade Zahl?

10.11.2013, 17:14

Iorek

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Eine Zweierpotenz ist natürlich immer eine gerade Zahl, aber nicht jede gerade Zahl ist eine Zweierpotenz. Belassen wir es zunächst mal auf der konkreten Ebene: finde zu den ganzen Beispielen oben ein Urbild. Für die ungeraden Zahlen hast du das schon gemacht, wie sieht das mit den geraden Zahlen aus? Suche wirklich explizit nach Zahlen $\begin{eqnarray*} m,n \end{eqnarray*}$ die du in die Funktion einsetzt.

11.11.2013, 16:06

Thorsten_2

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Also das Urbild für ungerade sieht bei mir so aus:
Sei y elemt N ungerade existiert ein k element N miit y = 2k -1.
Jedes gerade y kann ein entsprechendes k besitzen, da Kommazahlen nicht element der antürlichen Zahlen. Somit muss n=1 und m>0 element der natürlichen Zahlen sein.

Für gerade habe ich folgendes aufgestellt:
Sei y element N gerade exitiert ein k element N mit y=2 hoch (k-1) * (2k-1)

Geht das jetzt in die richtige Richtung?

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