Rechtsinverse in Bezug auf Bijektivität

09.11.2013, 15:23

Tavas

Rechtsinverse in Bezug auf Bijektivität

Meine Frage:
Hallo,

ich habe vor 2 Monaten angefangen Mathematik zu studieren und habe ein Verständnisproblem zu Rechtsinversen und zwar geht es um folgende Abbildung:

$\begin{eqnarray*} f: \left[-1,1\right] \rightarrow \left[0,1\right] : x \mapsto x^{2}, wobei \left[a,b\right] := \left\{ x\in \mathbb R | a\leq x \leq b\right\} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Meine Idee war jetzt, dass g und g' jeweils Rechtsinversen sind.

$\begin{eqnarray*} g: \left[0,1\right] \rightarrow \left[-1,1\right] : x \mapsto \sqrt{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g': \left[0,1\right] \rightarrow \left[-1,1\right] : x \mapsto -\sqrt{x} \end{eqnarray*}$

Allerdings bin ich mir da nicht ganz sicher, da die Funktionen in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nicht definiert sind, weil der Wertebereich ja auch negative Zahlen enthält und somit wären ja g und g' keine Abbildungen.

10.11.2013, 00:10

Guppi12

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Hallo,

du hast das genau richtig gemacht!

$\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g' \end{eqnarray*}$ sind beide rechtsinvers zu $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

weil der Wertebereich ja auch negative Zahlen enthält und somit wären ja g und g' keine Abbildungen.

Du setzt doch nicht die Werte aus dem Wertebereich ein, sondern die aus dem Definitionsbereich. Und der ist ja hier $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ .

Alles klar?

10.11.2013, 12:29

Tavas

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Hi,

danke für deine Antwort. Mir ist das jetzt klar, ich hatte einen Dreher drinnen Hammer

Aber noch eine andere Sache und zwar:

Angenommen f sei eine Abbildung mit genau einer Rechtsinversen, was kann man über f sagen ?

Mir wurde gesagt, dass dann f bijektiv sei, weil alle Fasern einelementig sind, allerdings verstehe ich nicht, warum die Fasern einelementig sind.

Danke im Voraus!

10.11.2013, 13:16

Guppi12

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Ist dir denn schon klar, warum alle Fasern eines Elements dann mindestens einelementig sind?

Falls ja, dann musst du ja nur noch zeigen, dass auch jede Faser eines Elements nur maximal einelementig ist:

Ich führe mal ein paar Bezeichnungen ein, damit man besser sprechen kann.

Es sei $\begin{eqnarray*} f: A\to B \end{eqnarray*}$ eine Funktion und $\begin{eqnarray*} g:B\to A \end{eqnarray*}$ eine rechtsinverse Funktion zu $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Dabei soll $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ die einzige rechtsinverse Funktion sein.

Nimm also an, es gäbe eine mindestens zweielementige Faser. Also gibt es $\begin{eqnarray*} b\in B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_1\neq x_2 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_1) = f(x_2) = b \end{eqnarray*}$ . Was passiert jetzt, wenn du in der Abbildungsvorschrift von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ das Bild von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ einmal auf $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und einmal auf $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ abänderst und den Rest gleich lässt. Ist dann $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ immernoch rechtsinvers?

10.11.2013, 13:40

Tavas

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Also die Fasern aller Elemente von f müssen ja mindestens einelementig sein, weil f surjektiv ist. Dann muss ja noch gezeigt werden, dass die Rechtsinverse auch surjektiv ist oder liege ich da falsch?

Nach deinem Ansatz müsste ja die Annahme zu einem Widerspruch führen.
Allerdings verstehe ich nicht, was du damit meinst das Bild von b auf $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ abändern.

10.11.2013, 13:44

Guppi12

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Zitat:

Allerdings verstehe ich nicht, was du damit meinst das Bild von b auf $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ abändern.

Naja, $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist ja eine Abbildung, die jedem Element aus $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ein Element aus $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ zuordnet.

Ich meinte damit nun, dass man sich mal eine Abbildung $\begin{eqnarray*} \tilde g \end{eqnarray*}$ anschaut, die überall mit $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ übereinstimmt, nur dass man das Bild von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ selbst festlegt undzwar einmal als $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und einmal als $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ .

10.11.2013, 16:11

Tavas

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Ok, ich habe nochmal im Skript nachgeschaut, und zwar wäre $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ dann ja keine Rechtsinverse mehr von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , weil laut Definition jede Rechtsinverse injektiv ist.

Nur wenn jede Rechtsinverse injektiv ist heisst das doch automatisch, dass die Funktion bijektiv ist oder nicht ? verwirrt

10.11.2013, 16:12

Guppi12

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Warum sollte die dann nicht mehr injektiv sein?

10.11.2013, 16:35

Tavas

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Ne das war Mist, was ich da geschrieben habe.

Ich glaube vorstellen kann ich mir es jetzt, denn wenn es nur eine Rechtsinverse gibt, gibts es ja keine Wahlmöglichkeit für diese und damit muss ja jedes Element aus dem Wertebereich genau einmal getroffen werden.
Aber wie man das jetzt mathematisch ausdrückt keine Ahnung.

10.11.2013, 17:07

Guppi12

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Naja, du zeigst halt, dass die Abbildungen die ich beschrieb beide rechtsinvers sind, was ein Widerspruch dazu ist, dass es nur eine Rechtsinverse gibt.

10.11.2013, 18:08

Tavas

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ahhh perfekt! Vielen Dank! smile

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