einfache Lie Algebra

09.11.2013, 17:17	Zudumm	Auf diesen Beitrag antworten »
einfache Lie Algebra Meine Frage: hi. Ich will beweisen, dass die Lie Algebra L=sl(n,C) der spurlosen nxn Matrizen mit Einträgen in C einfach ist. Meine Ideen: Zu Zeigen ist, dass L keine nichttrivialen Ideale besitzt. Sei also I ein nichttriviales Ideal von L. Ich will folgern, dass I aber L sein muss, finde aber keinen Ansatz.
11.11.2013, 19:30	Zudumm	Auf diesen Beitrag antworten »
kleiner push, da schon auf die dritte Seite gerückt...
12.11.2013, 10:37	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Zudumm, Ich sehe leider keinen Weg, die Aufgabe ohne viel Rechnerei zu lösen. Was ich mir überlegt habe, ist folgendes: Zunächst ist ein Ideal in $\begin{eqnarray} sl \end{eqnarray}$ auch ein Ideal in $\begin{eqnarray} gl \end{eqnarray}$ . (Warum?!) Sei nun $\begin{eqnarray} 0\neq x \end{eqnarray}$ im Ideal. Dann kann man immer wieder die Lie-Klammer mit Elementen der Form $\begin{eqnarray} e_{ii} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} e_{ij}+e_{ji} \end{eqnarray}$ bilden, bis man sieht, dass auch $\begin{eqnarray} e_{ij}\in [x,L] \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} e_{ii}-e_{jj}\in L \end{eqnarray}$ für irgendwelche $\begin{eqnarray} i\neq j \end{eqnarray}$ ist. Danach bastelt man sich die restlichen Basiselemente von $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ zusammen. (Du kannst ja zuerst annehmen, dass alle Einträge in $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ nicht Null sind und dann später verallgemeinern.) Gruß Reksilat
17.11.2013, 15:04	Zudumm	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich sehe nur die Richtung, dass ein ideal von gl auch ein ideal von sl ist.
17.11.2013, 15:10	Zudumm	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein Post von eben macht keinen Sinn, sorry. Aber woher weiss ich dass wenn [sl,I]= I und sl\subseteq gl folgt, dass [gl,I]=I?
17.11.2013, 18:39	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Überlege Dir, dass $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \end{eqnarray}$ algebraisch abgeschlossen ist und man deshalb ein Element aus gl immer als Element aus sl multipliziert mit einer Matrix aus dem Zentrum von gl schreiben kann.
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