Ordnung von Nullstelle

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Viriditas Auf diesen Beitrag antworten »
Ordnung von Nullstelle
Hallo

Ich soll folgende Aufgabe lösen:

[attach]32044[/attach]

Also aus der Angabe weiß ich, dass ist.

Die multiplikative Gruppe hat ja alle Elemente des Körpers außer die 0.

Und ich muss nun ein n suchen, sodass gilt, dass ist.

Aber wie mache ich das?

Danke im Voraus!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ordnung ist ein Teiler der Gruppenordnung, da gibt es nicht viele Möglichkeiten.
Viriditas Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort. Aber wie kann ich die Gruppenordnung ermitteln? Ich weiß, dass die Ordnung jener Exponent ist, hoch dem ein Element das neutrale Element ergibt, in unserem Fall 1.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das Galois-Feld der Ordnung hat Elemente. Da ist aber das Nullelement noch mit dabei. Wie viele Elemente hat dann die multiplikative Gruppe dieses Körpers? Sie ist übrigens zyklisch wie alle endlichen multiplikativen Gruppen eines Körpers.

( hat, wie mir scheint, die Ordnung .)
Viriditas Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, da bin ich jetzt mit Gruppen- und Elementordnung etwas durcheinander gekommen.

Also die multiplikative Gruppe hat 255 Elemente, und Teiler von 255 sind: 1, 2, 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255.

Aber was wäre nun mein hoch einer dieser Teiler? Ich weiß nicht, welches Element aus meiner Menge ist. Wenn ich die Ordnung von Einem der 255 Elemente ermitteln müsste, z.B. von x²+1, dann muss ich eben alle Potenzen durchgehen, bis ich 1 erhalte. Aber was ist mein Alpha genau? Ich weiß, es ist eine Nullstelle und ich dachte, es kann eigentlich nur Element aus {0, 1} sein, aber wenn ich diese Elemente einsetze, ist dies ja keine Nullstelle.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Über ist wegen 1=-1 . Das hilft, weitere Potenzen von zu berechnen, also hoch 15,17,51,85,255.
Wegen Leopolds Vermutung würde ich an deiner Stelle mit 51 anfangen.
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Na ja, 2 ist kein Teiler von 255.

ist ein Element, für das gilt. Oder aufgelöst nach (beachte daß modulo minus und plus dasselbe ist):



Die Ordnung von kann zum Beispiel nicht sein, denn dann würde , gelten, womit Nullstelle eines Polynoms fünften Grades wäre, wo es doch Nullstelle eines über irreduziblen Polynoms achten Grades sein soll.

Die Ordnung von kann aber auch nicht sein. Dazu berechnet man , etwa so:



Beachte, daß in Körpern der Charakteristik gilt: (ohne gemischte Glieder).

Jetzt wird oben weiter gerechnet:



Und dieser Ausdruck ist nicht (denn dann wäre Nullstelle eines Poynoms siebten Grades).

Dies zeigt: hat nicht die Ordnung .

Ob es eine einfachere Methode gibt als dieses Durchprobieren und stückweise Reduzieren des Grades, übersehe ich im Moment nicht. Vielleicht kann man etwas damit anstellen, daß die multiplikative Gruppe des Körpers zyklisch ist. Es muß also ein Element der Ordnung von der Gestalt



geben, von dem eine Potenz ist. Vielleicht probierst du einmal etwas in dieser Richtung aus. Ansonsten mußt du warten, bis sich hier Leute melden, die sich in Algebra besser auskennen (->tmo).
Viriditas Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deinen ausführlichen Beitrag, Leopold!
Ich kann ja auch sagen, dass gilt:


Also muss ich die Exponenten nacheinander einsetzen und dann schauen, dass ich herausbekomme, das ja gleich 1 ist, oder?

Ich werde das mal durchprobieren. smile Danke nochmals!
Viriditas Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe dann:


Hier muss ich dann wieder einsetzen, oder? So lange, bis das alles stückweise reduziert wird und aufgrund der Charakteristik wegfällt, stimmts?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt
über , aber deshalb ist noch nicht , denn
Viriditas Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, da war ich mit der Charakteristik zu übereifrig.

Ich muss nun einen Weg finden, zu berechnen. Wenn ich aber wähle, wird das wieder sehr umständlich.

Wüsste jemand einen besseren Ansatz?

Danke im Voraus.

PS: Oder gibt es dafür einen Befehl für Mathematica?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Rechnen ist nicht umständlich, rechnen ist lehrreich. Wenn Gauß nicht gerechnet hätte, wäre er nie ein genialer Mathematiker geworden.
Viriditas Auf diesen Beitrag antworten »

Das mag schon sein, aber die Potenzen werden hier immer höher und ich möchte auch lernen, wie ich am besten einen geschickten Ansatz finde. Es gibt dafür sicherlich eine Strategie, wie man zeitsparender das ganze gestalten kann.

Und ich rechne an dem Beispiel schon seitenweise herum, so ist es ja nicht.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Potenzen werden sehr schnell wieder kleiner, wenn du durch ersetzt.
Viriditas Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe jetzt mit meinem Ansatz weitergerechnet:

Und erhalte: .
Viriditas Auf diesen Beitrag antworten »

Da die Ordnung anscheinend wirklich 51 sein soll, schreibe ich hier meinen ganzen Rechenweg rein: (nun statt Alpha einfach a):











EDIT: Ok, ich habe in der vorletzten Zeile ein vergessen abschreiben, jetzt stimmt es. Hier die Korrektur:


Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe das jetzt nicht im einzelnen nachgerechnet. Aber modulo Schreib- und Rechenfehler stimmt das Vorgehen.

Vielleicht kannst du einen einfacheren Beweis finden, indem du zeigst, daß die multiplikative Gruppe des Körpers erzeugt und gilt.
Viriditas Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Aber modulo Schreib- und Rechenfehler stimmt das Vorgehen.

Was meinst du damit genau? smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Daß es fermutlich richttig ist. Bis auf Shcreibfehler halt ...
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, ist aber mühsam, und jetzt glaube ich auch nicht mehr, dass diese Art Rechnerei Spaß macht.

a8=a4+a3+a+1

a16=(a8)2=a8+a6+a2+1=a4+a3+a+1+a6+a2+1=a6+a4+a3+a2+a

a32=(a16)2=a12+a8+a6+a4+a2=a8(a4+1)+a6+a4+a2=a8+a7+a5+a4+a4+a3+a+1+a6+a4+a2
=a4+a3+a+1+a7+a5+a3+a+1+a6+a4+a2=a7+a6+a5+a2

a48=(a6+a4+a3+a2+a)(a7+a6+a5+a2)=a13+a12+a11+a8+a11+a10+a9+a6+a10+a9+a8+a5+
a9+a8+a7+a4+a8+a7+a6+a3=
a48=a13+a12+a9+a5+a4+a3=a8*(a5+a4+a)+a5+a4+a3=a9+a8+a6+a5+a8+a7+a5+a4+a5+a4
+a2+a+a5+a4+a3
a48=a9+a7+a6+a4+a3+a2+a

a51=a48*a3=a12+a10+a9+a7+a6+a5+a4=a8*(a4+a2+a)+a7+a6+a5+a4=a8+a7+a5+a4+a6+a
5+a3+a2+a5+a4+a2+a+a7+a6+a5+a4
a51=a8+a3+a4+a=a4+a3+a+1+a3+a4+a=1
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