Supremum, Infinimum bestimmen

09.11.2013, 18:47	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Supremum, Infinimum bestimmen Ich hab hier eine Aufgabe, bei der ich nicht weiter komme. "Untersuchen Sie die folgenden Mengen auf Existenz von Supremum, Infinimum, Maximum und Minimum. Geben Sie diese, falls sie existieren, explizit an." $\begin{eqnarray} A := \left\{ x \in \mathbb R \| \ \ \| x - 1 \| = 2x \right\} \end{eqnarray}$ Ich hab die Ungleichung erst mal gelöst (mittels Fallunterscheidung): $\begin{eqnarray} x-1 = 2x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x = -1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -(x-1) = 2x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -x+1 = 2x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x = \frac{1}{3} \end{eqnarray}$ Wie mache ich denn ab hier weiter?
09.11.2013, 18:49	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst einmal solltest du die Gleichung (wieso schreibst du von einer Ungleichung?) auch korrekt lösen und die Lösungsmenge konkret bestimmen. Was für Fälle hast du denn unterschieden? Und passen die erhaltenen Lösungen jeweils zu den Fällen?
09.11.2013, 19:22	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, ist ja gar keine Ungleichung - mein Fehler. Nun ja, $\begin{eqnarray} \| x-1 \| = 2x \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} x \geq 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x - 1 = 2x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x = -1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb L_1 = \emptyset \end{eqnarray}$ Und für $\begin{eqnarray} x<1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x = \frac 1 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb L_2 = \left\{ \frac 1 3 \right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb L = \mathbb L_1 \cup \mathbb L_2 = \left\{ \frac 1 3 \right\} \end{eqnarray}$ Und nun?
09.11.2013, 20:06	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun kannst du feststellen, dass die gegebene Menge nur ein Element enthält. Damit sollten Infimum, Supremum, Minimum und Maximum leicht zu bestimmen sein.
09.11.2013, 20:09	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
1/3 ist gleichzeitig Minimum, Maximum, Supremum und Infinimum?! Edit: Oder macht es keinen Sinn bei einer einelementigen Menge von Minimum, Max., etc. zu sprechen?
09.11.2013, 20:55	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Warum sollte das keinen Sinn ergeben? Diese Begriffe sind natürlich auch für Mengen mit endlich vielen Elementen definiert, also auch für Mengen mit nur einem Element.
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09.11.2013, 20:55	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, ich danke dir!

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