Konvergenz von Folgen

09.11.2013, 21:16

KuddelMud

Konvergenz von Folgen

Hallo hätte mal wieder ein paar Fragen.

Ich muss zeigen, dass lim(an * bn) = a*b konvergiert

Ich habe mal wie in der VO: |cn-ab|<= |an||bn-b|+|an-a||b| umgeformt
Wobei ich schon nicht so recht verstehe wieso man das macht bzw wie man drauf kommt, da man im Endeffekt ja nur mit +0 rechnet...
Weiter dann: |an|=|an-a|+|a| eingesetzt und wenn |an-a|<Eps, dann
|cn-ab| ......<=Eps^2|a|Eps+Eps|b| <= Eps * (|a||b|+1a)

nach der Konvergenzbedingung ist das dann: Eps * (|a||b|+1)<=Eps

In der VO hat er dann für die Division etwas mit min und max gesagt aber ich weiß hier nicht mehr weiter.
Im Endeffekt ist eben n0=max(nb,na), aber keine Ahnung wie ich auf die beiden komme.

Weiters
1/(n+1+sqrt(n^2+2n)) bestimme Grenzwert und n0.
Wenn ich mir nur die größten n ansehe komme ich auf einen GW von 0.
Mit was/wie soll ich den Term multiplizieren um |an-0|<Eps zu zeigen? Habe zwar bereits mit *(n-1-sqrt(..)) gerechnet aber da komme ich wieder auf einen seltsamen Term.

Ich habe die Folge:
1+2^3+3^3+4^4+....n^3/n^4
Hier soll ich den GW berechnen und Konvergenz zeigen, habe aber nichtmal einen Ansatzpunkt.
Außer villeicht n^3 mit n^4 kürzen, sodass nur noch (n-1)^3 im Zähler und n im Nenner steht, aber das bringt mir ja auch nichts. Außer, dass es wohl nach unendlich konvergiert, da ich im Zähler praktisch immer einen höheren Wert habe als im Nenner.

10.11.2013, 15:08

KuddelMud

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Keiner eine Idee?

11.11.2013, 13:28

klarsoweit

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RE: Konvergenz von Folgen
Na ja, bei 3 Aufgaben in einem Beitrag und der etwas chaotischen Darstellung bekommt man auch keine große Lust zum Helfen.

Zitat:

Original von KuddelMud
Ich muss zeigen, dass lim(an * bn) = a*b konvergiert

Das ist Unfug und bedarf einer genaueren Formulierung.

Zitat:

Original von KuddelMud
Weiter dann: |an|=|an-a|+|a| eingesetzt und wenn |an-a|<Eps, dann
|cn-ab| ......<=Eps^2|a|Eps+Eps|b| <= Eps * (|a||b|+1a)

Wie du das gefolgert haben willst, ist mir nicht klar. Also fangen wir mal an:

Voraussetzung: Sei a_n eine konvergente Folge mit Grenzwert a und b_n eine konvergente Folge mit Grenzwert b.
Behauptung: die Folge c_n := a_n * b_n ist konvergent und hat den Grenzwert c := a * b.

Beweis: wähle epsilon > 0 beliebig. Dann gibt es ein N_1 mit $\begin{eqnarray*} |a_n - a| < 1 \end{eqnarray*}$ für alle n > N_1, ein N_2 mit $\begin{eqnarray*} |a_n - a| < \frac{\epsilon}{1+|a|+|b|} \end{eqnarray*}$ für alle n > N_2 und ein N_3 mit $\begin{eqnarray*} |b_n - b| < \frac{\epsilon}{1+|a|+|b|} \end{eqnarray*}$ für alle n > N_3 . Wähle N_0 := max(N_1; N_2; N_3) .

Für n > N_0 gilt dann: $\begin{eqnarray*} |c_n - c| = |a_n \cdot b_n - a \cdot b| = ... \end{eqnarray*}$
Die weiteren Beweisschritte hast du schon in etwa angedeutet.

Zitat:

Original von KuddelMud
Weiters
1/(n+1+sqrt(n^2+2n)) bestimme Grenzwert und n0.
Wenn ich mir nur die größten n ansehe komme ich auf einen GW von 0.
Mit was/wie soll ich den Term multiplizieren um |an-0|<Eps zu zeigen? Habe zwar bereits mit *(n-1-sqrt(..)) gerechnet aber da komme ich wieder auf einen seltsamen Term.

Mach es doch nicht so kompliziert. Wähle N_0 = 1 / epsilon und zeige, daß die Folgenglieder für n > N_0 kleiner als epsilon sind.

Zitat:

Original von KuddelMud
Ich habe die Folge:
1+2^3+3^3+4^4+....n^3/n^4

Hier werden mal wieder hellseherische Fähigkeiten strapaziert. Könnte es sein, daß du die Folge $\begin{eqnarray*} a_n := \frac{1+2^3+3^3+4^3+ ... +n^3}{n^4} \end{eqnarray*}$ meinst? verwirrt

11.11.2013, 17:39

KuddelMud

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Hah, mathematiker sind ja schlimmer als Theoretische Informatiker Augenzwinkern

Entschuldigung, wenn man Hilfe zu einem Problem möchte sollte man wirklich etwas ausführlicher schreiben.

Ja, beim ersten komme ich im Endeffekt so weit, zu sagen, dass:

|cn-ab|=...........<=Eps * (|a||b|+1)

Und dann eben zu Eps * (|a||b|+1) <=Eps, wo ich dann eben nicht mehr weiter weiß für den beweis.
Ich kann doch dann Eps * (|a||b|+1) anstatt |cn-ab| einsetzen? In der Vo haben wir es zumindest so ähnlich gemacht.

Beim zweiten habe ich ein gegebenes Epsilon und soll entsprechend n0 finden.
Habe jetzt den term mit dem reziproken multipliziert, jedoch weiß ich trotzdem nicht wie ich von:

|n+1-sqrt(n^2+2n)-0|<Eps, dass n0 herausbekomme. Habe hier schon eine halbe A4 Seite vollgeschrieben aber komme auf nix.

3.)
Ja, entschuldige,aber es hat sich auch schon erledigt Augenzwinkern

12.11.2013, 10:45

klarsoweit

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Zitat:

Original von KuddelMud
Ja, beim ersten komme ich im Endeffekt so weit, zu sagen, dass:

|cn-ab|=...........<=Eps * (|a||b|+1)

Wie ich schon sagte, kann ich das nicht nachvollziehen, unter anderem nicht, wie du auf den Faktor (|a||b|+1) kommst.

Zitat:

Original von KuddelMud
Und dann eben zu Eps * (|a||b|+1) <=Eps, wo ich dann eben nicht mehr weiter weiß für den beweis.

Hier ist das Problem, daß "Eps" in doppelter Bedeutung verwendet wird. Wenn nicht, könnte man durch Eps dividieren und hätte einen Widerspruch: (|a||b|+1) <= 1
Bei diesen epsilon-Beweisen muß man ganz sauber arbeiten, sonst landet man sofort in einer Sackgasse. Nimm doch meinen Beweisansatz.

Zitat:

Original von KuddelMud
Beim zweiten habe ich ein gegebenes Epsilon und soll entsprechend n0 finden.
Habe jetzt den term mit dem reziproken multipliziert, jedoch weiß ich trotzdem nicht wie ich von:

|n+1-sqrt(n^2+2n)-0|<Eps, dass n0 herausbekomme. Habe hier schon eine halbe A4 Seite vollgeschrieben aber komme auf nix.

Eigentlich müßtest du doch dieses da stehen haben: $\begin{eqnarray*} |\frac{1}{n+1 + \sqrt{n^2+2n}} -0| < \epsilon \end{eqnarray*}$

Auch hier verstehe ich dein Problem nicht. Wähle zu epsilon > 0 ein N_0 mit $\begin{eqnarray*} N_0 > \frac{1}{\epsilon} \end{eqnarray*}$ . Dann gilt für n > N_0:

$\begin{eqnarray*} n > \frac{1}{\epsilon} \Leftrightarrow \frac 1 n < \epsilon \Rightarrow \frac{1}{n+1 + \sqrt{n^2+2n}} < \epsilon \Rightarrow |\frac{1}{n+1 + \sqrt{n^2+2n}} - 0|< \epsilon \end{eqnarray*}$ q.e.d.

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