Vollständige Induktion Ungleichung

09.11.2013, 21:17

Schokoladig

Vollständige Induktion Ungleichung

Halli Hallo Mathe-Freunde smile

,

ich bin neu hier. Ich habe Probleme bei meinem 4. Übungsblatt, wo es ausschließlich um die Beweistechnik der vollständigen Induktion geht. Ich habe echt keine Ahnung, wie ich die Aufgaben angehen soll. Eine der Aufgaben ist Folgende:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x_1*x_2*...*x_n} \leq \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n} \end{eqnarray*}$

Ich weiß leider nicht wie man die n-te Wurzel schreibt...

Mein Induktionsanfang für n=1:

(x1)^1/1 <= x1/1

Induktionsschritt: n->n+1

(xn+1)^1/n+1<= ......... <= xn+1/n+1

Ich weiß aber leider nicht wie es weiter geht, weil ich durch die n+1te Wurzel total verwirrt bin. Es tut mir echt leid, dass ich die Indizes nicht vernünftig einstellen kann und die Wurzeln, aber ich blicke hier noch nicht ganz durch wie ich das mache.

Ich werde nochmal schauen, ob ich das noch hinkriege, aber ich danke euch schon mal im Voraus für eure Hilfe.

Liebe Grüße

SchokoLadig

09.11.2013, 21:21

jimmyt

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Erstmal zum Verständnis, meinst du das hier:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{(x_1 \cdot x_2 ~ \dots ~ x_n)} ~ \leq ~ \frac{(x_1+x_2+ ~ \dots ~ +x_n)}{n} \end{eqnarray*}$

09.11.2013, 21:28

Schokoladig

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Ja, genau das meinte ich. Dankeschön...

09.11.2013, 21:54

jimmyt

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RE: Vollständige Induktion Ungleichung

Zitat:

Original von Schokoladig
...
Ich weiß aber leider nicht wie es weiter geht, weil ich durch die n+1te Wurzel total verwirrt bin.
...

Vielleicht hilft dir das weiter: smile

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{a \cdot b} ~ = ~ \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^{\frac{m}{n}} ~ = ~ \sqrt[n]{a^m} ~ = ~ (\sqrt[n]{a}~)^m \end{eqnarray*}$

10.11.2013, 07:39

Schokoladig

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Also ich habe noch überhaupt keine Idee wie ich das hier anwenden kann ...ich weiß nicht mal, ob der Anfang des Induktionsschritt richtig ist....

$\begin{eqnarray*} Der Induktionsfang für n=1: \sqrt[1]{x_{1}} \leq \frac{x_{1}}{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Der Induktionsschritt: \sqrt[n+1]{x_{n+1}} \leq \frac{x_{n+1}}{n+1} \end{eqnarray*}$

10.11.2013, 13:42

jimmyt

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Naja, Vorschlag für den Induktionschritt:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n+1]{(x_1 \cdot x_2 ~ \dots ~ x_n \cdot x_{n+1})} ~ = ~ \sqrt[n+1]{(x_1 \cdot x_2 ~ \dots ~ x_n)} \cdot \sqrt[n+1]{x_{n+1}} ~ \leq ~ \dots ~ \end{eqnarray*}$

Gibt es eigentlich irgendwelche Angaben zu $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und zu den $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ 's?
Ich nehme mal an $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N}_0 \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R}^+ \end{eqnarray*}$ ? Das gehört eigentlich mit in die Induktionannahme bzw. Aufgabenstellung. smile

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