Ungleichung - Beweis durch Widerspruch

09.11.2013, 21:31	resie	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung - Beweis durch Widerspruch Meine Frage: Hey ihr, ich möchte folgenden Satz mit einem Beweis durch Widerspruch beweisen: Es seien $\begin{eqnarray} a, b \in \mathbb R \end{eqnarray}$ . Wenn $\begin{eqnarray} a\geq 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \geq 0 \end{eqnarray}$ , dann gilt $\begin{eqnarray} \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Voraussetzung: $\begin{eqnarray} a\geq 0, b \geq 0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a, b \in \mathbb R \end{eqnarray}$ Behauptung: $\begin{eqnarray} \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \end{eqnarray}$ Beweis durch Widerspruch: $\begin{eqnarray} \neg (\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab})\Leftrightarrow \frac{a+b}{2} < \sqrt{ab} \end{eqnarray}$ Wenn $\begin{eqnarray} a=b \end{eqnarray}$ , dann gilt $\begin{eqnarray} \frac{a+b}{2} = \sqrt{ab} \end{eqnarray}$ . Deswegen muss $\begin{eqnarray} a\neq b \end{eqnarray}$ sein. Aber das ist ein Widerspruch zur Voraussetzung. q.e.d. Könnte man das so machen oder ist das ein total falscher Ansatz?
09.11.2013, 23:09	Tesserakt	Auf diesen Beitrag antworten »
Inwiefern sollte DAS denn ein Widerspruch zur Voraussetzung sein? $\begin{eqnarray} a \neq b \end{eqnarray}$ ist kein Widerspruch zur Voraussetzung, denn vorausgesetzt wird lediglich, dass $\begin{eqnarray} a,b \geq 0 \end{eqnarray}$ gilt.
09.11.2013, 23:39	resie	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, also vollkommen falsch. Dann werd ich nochmal sehen, ob ich eine andere Idee bekomme.
09.11.2013, 23:58	resie	Auf diesen Beitrag antworten »
So, jetzt hat's bei mir klick gemacht. Sry, dass ich da nicht gleich drauf gekommen bin, aber bin noch nicht so geübt in Beweisen. Also damit die Ungleichung gilt müssen $\begin{eqnarray} a,b < 0 \end{eqnarray}$ sein. Und das wäre dann der Widerspruch zur Voraussetzung. Jetzt weiß ich nur nicht wie man das aufschreiben muss/kann/darf. Kann man das so ähnlich im Satz formulieren oder macht man das anders?
10.11.2013, 18:15	Tesserakt	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst natürlich auch irgendwie deine Ergebnisse herleiten können. Dass für $\begin{eqnarray} a,b < 0 \end{eqnarray}$ die Negation der zu beweisenden Ungleichung erfüllt ist, ist trivial. Jedoch zeigt dies nicht, dass die Negation genau dann erfüllt ist, wenn $\begin{eqnarray} a,b < 0 ist \end{eqnarray}$ . Nun, aber um zurück zu kommen zur eigentlichen Frage. Aus der im Widerspruchsbeweis formulierten Annahme lässt sich ganz leicht ein Widerspruch herleiten, wenn man bedenkt, dass für $\begin{eqnarray} m,n \geq 0 \end{eqnarray}$ die Aussage $\begin{eqnarray} m < n \Leftrightarrow m^2 < n^2 \end{eqnarray}$ gilt und fernerhin wegen der Annahme, dass $\begin{eqnarray} a,b \geq 0 \end{eqnarray}$ gilt, auch $\begin{eqnarray} \frac{a + b}{2} \geq 0 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \sqrt{ab} \geq 0 \end{eqnarray}$ gilt.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »