Ungleichung beweisen durch vollst. Induktion |
| 10.11.2013, 10:22 | milamila | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Ungleichung beweisen durch vollst. Induktion Hallo, ich soll die Ungleichung (1+na)(1-a)^n<1 beweisen. (a aus |R, 0<a<1) Als Ansatz habe ich die vollständige Induktion gewählt, komme aber nach dem Induktionsansatz, dass die Ungleichung für n=1 erfüllt ist, nicht so recht weiter.. Kann mir hier vielleicht jemand helfen? Meine Ideen: S.o. |
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| 10.11.2013, 12:50 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Ungleichung beweisen durch vollst. Induktion Kennst du die Bernoulli Ungleichung ? Ansonsten poste mal deine Induktion |
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| 10.11.2013, 15:47 | milamila | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, die kenne ich nicht :O Und ich meine Induktion ist wie gesagt wenig wert, ich habe nur für n n+1 eingesetzt und dann versucht, das ganze so umzuformen, dass ich meinen Induktionsanfang einsetzen kann, womit ich dann aber nicht weit gekommen bin 
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| 10.11.2013, 15:53 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wenn du nichts postest, werd ich nicht helfen 
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| 10.11.2013, 16:08 | milamila | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hatte gerade meine Sachen nicht zur Hand.. Also, durch n=1 erhält man die richtige Aussage (1+a)(1-a)=1-a^2<1 Dann war mein Induktionsschritt (1+(n+1)a)(1-a)^(n+1)=(1+na+a)(1-a)(1-a)^n<1 Den Term konnte ich dann nichtmehr sinnvoll umformen und bin somit nicht weitergekommen |
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| 10.11.2013, 17:02 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
jetzt IV einwerfen und dann noch überlegen, welche Bedingung der erfüllen muss, damit der Induktionsschluss klappt und warum die Bedingung erfüllt ist |
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| 10.11.2013, 17:31 | milamila | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Umformung war glaube ich genau die, die ich gesucht habe, aber ich weiß trotzdem nicht genau, wie ich die IV jetzt einsetzen soll 
Hab noch nie eine Ungleichung mit Induktion bewiesen
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| 10.11.2013, 17:40 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
dann schreib deine IV auf und sieh nach, ob du irgend etwas davon in dem umgeformten Ausdruck wieder findest. Es ist im Prinzip egal, ob du eine Gleichung oder Ungleichung per Induktion beweist. |
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| 10.11.2013, 17:56 | milamila | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die IV ist (1+na)(1-a)^n<1, die ja den ersten beiden Klammern aus dem umgeformten n+1-Teil entspricht. Daraus kann ich aber irgendwie nichts sinnvolles ableiten, außer dass auch das gesamte Produkt kleiner als eins sein muss. Also muss a(1-a)^(n+1)<1-(1+na-na^2-a) sein... |
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| 10.11.2013, 19:39 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
und warum schätzt du dann die ersten beiden Klammern aus dem umgeformten n+1-Teil nicht damit ab? |
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| 10.11.2013, 20:06 | milamila | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
abschätzen??? :0 |
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| 10.11.2013, 20:10 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| 10.11.2013, 20:23 | milamila | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, und dann muss ich zeigen, dass (1-a)+a(1-a)^(n+1)<1 gilt und damit der Induktionsschritt richtig ist? |
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| 10.11.2013, 21:11 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
genau |
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| 10.11.2013, 21:27 | milamila | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da hab ich aber auch noch keinen Weg gefunden, zu zeigen, dass nicht nur die Summanden, sondern die ganze Summe kleiner als 1 ist... |
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| 10.11.2013, 21:30 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du könntest langsam mal selbst etwas beitragen 
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| 10.11.2013, 21:41 | milamila | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn ich irgendeine Ahnung hätte, was ich beitragen könnte, dann würde ich das bestimmt auch tun... ich hab bis jetzt wirklich versucht, selber auf die Lösung zu kommen, aber ich finde einfach keine Darstellung, die mir zeigt, dass (1-a)+a(1-a)^n kleiner als 1 ist, nur für die einzelnen Summanden. Ich würds auch lieber so können... 
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| 10.11.2013, 21:45 | milamila | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
a(1-a)^(n+1)+(1-a)<1 => a(1-a)^(n+1)<a, ist erfüllt, da 1-a<1?? |
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| 10.11.2013, 21:48 | milamila | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich weiß auch nicht wieso, bei der Aufgabe stand ich völlig auf dem Schlauch, obwohl da eigentlich gar nix schweres dabei war
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| 10.11.2013, 21:48 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
geht doch. dass man immer erst schimpfen muss 
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| 10.11.2013, 21:52 | milamila | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Tut mir Leid, ich bin ein bisschen überwältigt vom ersten Semester, da hat mein Hirn schonmal den einen oder anderen Aussetzer 
Aber jetzt hab ich ja endlich alles zusammen!! Vielen lieben Dank für die Hilfe!!!! 
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