Stochastische Konvergenz

10.11.2013, 10:33

Nici 5

Stochastische Konvergenz

Meine Frage:
Guten Morgen,
ich brauche Hilfe bei einer Aufgabe und bin für jeden Tipp sehr dankbar.

Die Aufgabe:
Sei (Xn)n in N eine Folge von Zufallsvariablen mit Xn verteilt durch b(n, pn), n in N, und lim n->unendlich n*pn = 0.(Das n beim p steht immer im Index.Wusste leider nicht wie ich es besser darstelle).
Zeigen Sie, dass die Folge (Xn)n?N stochastisch gegen 0 konvergiert.

Meine Ideen:
Die stochastische Konvergenz gegen 0 ist ja definiert mit lim n->unendlich (P|Xn|>e) = 0 bzw. anders geschrieben P-lim n->unendlich Xn = 0.
Da Xn ist b(n, pn) folgt P(Xn=k)= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} pn^{k} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (1-pn)^{n-k} \end{eqnarray*}$ . Das habe ich dann umgeformt in der Hoffnung, dass mir das was bringt zu: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{pn}{(1-pn)^k} ^{k} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (1-pn)^{n} \end{eqnarray*}$ .
Leider bin ich überfragt wie genau ich das zeigen soll, mich irritiert das Epsilon und zur Zeit fällt mir nichts ein, wie ich das umformenkann,damit ich die Voraussetzungnutzen kann.
Wenn mir da jemand weiterhelfen könnte wäre ich echt dankbar. smile

10.11.2013, 11:10

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Nici 5
Die stochastische Konvergenz gegen 0 ist ja definiert mit lim n->unendlich (P|Xn|>e) = 0 bzw. anders geschrieben P-lim n->unendlich Xn = 0.

Da $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ bei dir hier nur ganze Zahlen annehmen kann, ist das äquivalent dazu, die Eigenschaft

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} P(X_n=0) = 1 \end{eqnarray*}$

zu zeigen.

10.11.2013, 11:58

Nici 5

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok,vielen Dank smile

Xn ist ganzzahlig,weil Xn >Epsilon und Epsilon>0?!
Ok wenn ich jetzt P(Xn=0) ausrechne bleibt dann nur noch P(Xn=0)=(1-pn)^n und das lass ich jetzt mit lim n->unendlich laufen.Damit da jetzt lim (P(Xn=0))=1 stehen kann, müsste lim pn=0 sein. Sagen wir ich betrachte jetzt lim (1-pn)=lim 1- lim pn...Woher weiß ich was lim pn ist? wenn da Lim n*pn stehen würde, könnte ich die Voraussetzung benutzen...oder habe ich da was übersehen?
ich hab jetzt immer das lim n->unendlich:lim ersetzt, weil es schneller geht. Ich hoffe das ist in Ordnung.

10.11.2013, 12:34

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Nici 5
Xn ist ganzzahlig,weil Xn >Epsilon und Epsilon>0?!

$\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ ist ganzzahlig, schlicht weil binomialverteilte Zufallsgrößen nur ganzzahlige Werte annehmen können, im hier vorliegenden Fall $\begin{eqnarray*} B(n,p_n) \end{eqnarray*}$ sogar nur ganzzahlige Werte $\begin{eqnarray*} 0,1,\ldots,n \end{eqnarray*}$ .

Vielleicht formulierst du auch kausalitätsmäßig sehr unglücklich: Weil $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ ganzzahlig ist, sind die beiden Ereignisse $\begin{eqnarray*} [|X_n|<\varepsilon] \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} [X_n=0] \end{eqnarray*}$ äquivalent, zumindest im Fall $\begin{eqnarray*} 0<\varepsilon<1 \end{eqnarray*}$ .

10.11.2013, 12:44

Nici 5

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. kannst du mir auch noch kurz die Frage beantworten, die ich nach der Epsilon-Frage gestellt habe, weil mir immer noch nicht so klar ist, wie ich meine Voraussetzung benutzen kann um das zu beweisen. Danke smile

10.11.2013, 12:48

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Nici 5
Damit da jetzt lim (P(Xn=0))=1 stehen kann, müsste lim pn=0 sein.

Nein, das reicht nicht, z.B. ist für $\begin{eqnarray*} p_n=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ der Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} (1-p_n)^n = \lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{1}{n}\right)^n = \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$

also nicht gleich Eins. Tatsächlich hast du ja auch viel mehr gegeben als nur $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} p_n = 0 \end{eqnarray*}$ , nämlich $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} np_n = 0 \end{eqnarray*}$ , und das musst du auch nutzen! Z.B. mit der Bernoullischen Ungleichung.

10.11.2013, 13:31

Nici 5

Auf diesen Beitrag antworten »

Tausend dank, der Hinweis mit Bernoulli hat mir sehr geholfen und habe die Aufgabe jetzt gelöst. smile

Vll. kannst du kurz bejahen, ob ich den "Beweis" der Aufgabe verstanden habe.
Wir wollen beweisen, dass die Folge Xn stochastisch konvergiert gegen 0. Nach Def folgt dass lim P(|Xn|>e)=0. Jetzt bin ich mir nicht sicher aber ich würde sagen wir betrachten das Komplement, also P(|Xn|<e). Wir wissen e>0,und wenn wir für alle e>0 P(|Xn|<e) betrachten wollen, Setzen wir P(|Xn|=0). Dann berechnen wir davon den Wahrscheinlichkeitswert und betrachten den Limes. Dann kommt da 1 raus. Und da wir das Komplement sozusagen betrachtet haben, muss unsere Aussage mit lim P(|Xn|>e)=0 sein.

10.11.2013, 14:27

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so ist das gedacht, d.h. alles gerafft in einer Zeile gilt für $\begin{eqnarray*} 0<\varepsilon<1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(|X_n| > \varepsilon) = 1-P(|X_n| \leq \varepsilon) =1-P(X_n=0) = 1-(1-p_n)^n \leq 1-(1-np_n) = np_n \to 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ .

10.11.2013, 14:34

Nici 5

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, aber eine Frage haette ich noch...du schreibst immer 0 <e <1. Warum kann unser e nicht groesser 1 sein. Ich versteh die ungleicheit bezueglich e nicht so richtig..kannst du das vll. kurz erklaeren. Danke fuer alles smile

10.11.2013, 14:48

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Für z.B. $\begin{eqnarray*} \varepsilon = 1.5 \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} P(|X_n|<\varepsilon) = P(X_n=0) + P(X_n=1) = (1-p_n)^n + np_n(1-p_n)^{n-1} \end{eqnarray*}$ ,

d.h. die Gleichungszeile oben würde nicht mehr stimmen. unglücklich

30.12.2013, 13:44

nienachen

Auf diesen Beitrag antworten »

Dazu habe ich eine Frage:

Zitat:

wo kommt/oder wie entsteht der Ausdruck $\begin{eqnarray*} p_n \end{eqnarray*}$ . Was genau ist es? Wie kommt ihr von:

$\begin{eqnarray*} P(|X_n| > \varepsilon) = 1-(1-p_n)^n \leq 1-(1-np_n) = np_n \to 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$

Ich verstehe diesen Teil leider nicht. Ware Super, wenn mich jemand aufgeklären könnte. verwirrt

Danke Euch! smile

Neue Frage »

Antworten »

Stochastische Konvergenz

Verwandte Themen