stetige Funktion berechnen für alle z in Z |
| 10.11.2013, 12:21 | mathelaie_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| stetige Funktion berechnen für alle z in Z Hallo, ich muss folgende Aufgabe machen: Wir wollen alle stetigen Funktion f:R -> R finden, für die gilt: Für alle x, y in R: f(x+y) = f(x) + f(y) 1)Berechnen Sie f(z) für alle z in Z. 2)Berechnen Sie f(q) für alle z in Q. Wie fange ich an? Danke Meine Ideen: leider noch keine 
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| 10.11.2013, 12:30 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: stetige Funktion berechnen für alle z in Z schau dir mal das Gruppenhomomorphismus ergibt Funktion mit Identität an |
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| 10.11.2013, 14:10 | sbgstud | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: stetige Funktion berechnen für alle z in Z das funktioniert so aber doch garnicht für reelle zahlen ?! ursprünglich wollte ich x als grenzwert einer rationalen folge nehmen und dann mim Limes rangehen ... das geht aber auch nicht und so aufsummieren kann ich doch nur ganzzahlig |
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| 10.11.2013, 14:14 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: stetige Funktion berechnen für alle z in Z deswegen gibt's ja auch den Fahrplan:
und dann klappt's auch mit der Grenzwertbetrachtung |
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| 10.11.2013, 15:19 | mathelaie_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: stetige Funktion berechnen für alle z in Z Vielen Dank für den Link. Ich komme trotzdem nicht voran. Ich versteh nicht so wirklich den Zusammenhang mit dem Gruppenhomomorphismus und der Stetigkeit... Ich muss ja bei 1) zeigen, dass die Funktion f: Z -> Z für alle z in Z stetig ist... Falls ich das nicht falsch verstanden hab. Nach Definition der Stetigkeit gilt dann: Für alle x in Z f(x) ---> f(z) für x ---> z. Also f(x) konvergiert gegen f(z) für x gegen z. Aber ich hab keine Ahnung wie ich das nun beweise... |
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| 10.11.2013, 15:49 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: stetige Funktion berechnen für alle z in Z Die Stetigkeit brauchst du weder in 1) noch in 2). Dort wird nur die Homomorphie, also f(x+y) = f(x) + f(y) ausgenutzt, um zu zeigen, dass für ein solches f notwendigerweise gilt. Dann zeigst du, dass bei stetigem f diese Gleichung notwendigerweise auf für reelle q gilt. Damit hast du gezeigt, dass eine solche Funktion f notwendigerweise eine lineare Funktion sein muss. Dann musst du noch überlegen, dass eine lineare Funktion tatsächlich die geforderten Eigenschaften hat - was offensichtlich der Fall ist. |
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