alternierende reihe

10.11.2013, 15:16

zlosh

alternierende reihe

Meine Frage:
Hi,

ich untersuche diese reihe auf konvergenz und komme nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{(-1)^{n}\sqrt{n} -1 } \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
ich würde das leibnizkriterium anwenden aber die reihe besitzt nicht die nötige form:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n} a_{n} \end{eqnarray*}$

kann ich die reihe vielleicht in die passende form bringen? oder gibt es eine andewre möglcihkeit diese aufgabe zu lösen?

10.11.2013, 15:19

Guppi12

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Edit: Sorry, muss das noch kurz überdenken. Habe vorschnell geantwortet.

Edit2: Leibnitz bietet sich hier vielleicht doch nicht so gut an.

Ich würde an deiner Stelle vielleicht am ehesten versuchen zu zeigen, dass die Teilfolge der Partialsummenfolge $\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{2n} \end{eqnarray*}$ konvergiert und der Abstand zwischen $\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{2n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{2n+1} \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergiert.

10.11.2013, 15:38

HAL 9000

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Zitat:

Original von Guppi12
Ich würde an deiner Stelle vielleicht am ehesten versuchen zu zeigen, dass die Teilfolge der
Partialsummenfolge $\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{2n} \end{eqnarray*}$ konvergiert

Ich würde dagegen eher nachweisen wollen, dass sie divergiert. Augenzwinkern

Es sei denn, es stellt sich heraus, dass im Nenner Klammern vergessen wurden und dann doch die andere Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{(-1)^{n}(\sqrt{n}-1)} \end{eqnarray*}$

gemeint ist. Augenzwinkern

10.11.2013, 15:46

zlosh

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Zitat:

Original von HAL 9000

Ich würde dagegen eher nachweisen wollen, dass sie divergiert. Augenzwinkern

die klammer wurde nicht vergessen, es ist richtig wie es oben steht.

wie könnte ich die divergenz zeigen? das nullfolgenkriterium greift hier nicht.

10.11.2013, 15:51

zlosh

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könnte es mit dem cauchy kriterium funktionieren? ich weis zwar nicht nicht genau wie, aber wüsste dann in welche richtung es probieren soll^^

10.11.2013, 15:52

HAL 9000

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Technisch etwas günstiger ist es, die Partialsummen ungerader Ordnung zu betrachten, d.h.

$\begin{eqnarray*} s_{2m+1} = \sum_{n=2}^{2m+1} \frac{1}{(-1)^n\sqrt{n}-1} = \sum_{k=1}^{m} \left( \frac{1}{(-1)^{2k}\sqrt{2k}-1} + \frac{1}{(-1)^{2k+1}\sqrt{2k+1}-1} \right) = \sum_{k=1}^{m} \left( \frac{1}{\sqrt{2k}-1} - \frac{1}{\sqrt{2k+1}+1} \right) \end{eqnarray*}$

Nun könnte man beispielsweise das Minorantenkriterium nutzen, auf Basis der Reihenglied-Abschätzung

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2k}-1} - \frac{1}{\sqrt{2k+1}+1} > \frac{1}{\sqrt{2k}-1} - \frac{1}{\sqrt{2k}+1} = \ldots \end{eqnarray*}$ ,

10.11.2013, 15:58

Guppi12

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Hallo HAL, dann danke dir fürs Übernehmen.

10.11.2013, 16:21

zlosh

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Zitat:

Original von HAL 9000
Technisch etwas günstiger ist es, die Partialsummen ungerader Ordnung zu betrachten, d.h.

$\begin{eqnarray*} s_{2m+1} = \sum_{n=2}^{2m+1} \frac{1}{(-1)^n\sqrt{n}-1} = \sum_{k=1}^{m} \left( \frac{1}{(-1)^{2k}\sqrt{2k}-1} + \frac{1}{(-1)^{2k+1}\sqrt{2k+1}-1} \right) = \sum_{k=1}^{m} \left( \frac{1}{\sqrt{2k}-1} - \frac{1}{\sqrt{2k+1}+1} \right) \end{eqnarray*}$

Nun könnte man beispielsweise das Minorantenkriterium nutzen, auf Basis der Reihenglied-Abschätzung

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2k}-1} - \frac{1}{\sqrt{2k+1}+1} > \frac{1}{\sqrt{2k}-1} - \frac{1}{\sqrt{2k}+1} = \ldots \end{eqnarray*}$ ,

puhh danke erstmal. ich habe aber erstmal probleme deiner umformung zu folgen, wie genau hast du diese summe auf diese weise aufgeteilt? mit partialsummen habe ich leider noch nichts zutun gehabt, deswegen etwas verwirrt.

10.11.2013, 16:27

HAL 9000

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Ich habe schlicht jeweils zwei aufeinander folgende Summenglieder für geraden Index $\begin{eqnarray*} n=2k \end{eqnarray*}$ und ungeraden Index $\begin{eqnarray*} n=2k+1 \end{eqnarray*}$ zusammengefasst - die Zeile oben war m.E. eigentlich recht ausführlich...

10.11.2013, 16:40

zlosh

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ich habe schlicht jeweils zwei aufeinander folgende Summenglieder für geraden Index $\begin{eqnarray*} n=2k \end{eqnarray*}$ und ungeraden Index $\begin{eqnarray*} n=2k+1 \end{eqnarray*}$ zusammengefasst - die Zeile oben war m.E. eigentlich recht ausführlich...

ok ich kanns nun nachvollziehen.

es reicht also aus wenn ich die divergenz einer partialsumme nachweisen kann?

ich muss die unteren reihenglieder so abschätzen dass ich eine divergente reihe finde mit kleineren reihengliedern als die meiner partialsumme?

10.11.2013, 16:45

HAL 9000

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Ja, wobei ich eine solche Abschätzung ja bereits schon angegeben habe:

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2k}-1} - \frac{1}{\sqrt{2k+1}+1} > \frac{1}{\sqrt{2k}-1} - \frac{1}{\sqrt{2k}+1} = \ldots \end{eqnarray*}$ ,

Du musst jetzt lediglich noch diese Differenz vereinfachen. Zumindest das könntest du mal selbständig machen, wenigstens versuchen.

10.11.2013, 16:49

zlosh

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Zitat:

Original von HAL 9000

Du musst jetzt lediglich noch diese Differenz vereinfachen. Zumindest das könntest du mal selbständig machen, wenigstens versuchen.

selbstverständlich^^ auch wenn das so wirkt als würde ich nichts machen, ich habe schon mehrere seiten vollgeschrieben^^

wenn ich den ausdruck weiter umforme und abschätze komme ich auf > 1/k

also die summenglieder der divergenten harmonischen reihe. das sollte die lösung sein oder?

10.11.2013, 16:51

HAL 9000

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Ich komme auch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2k-1} \end{eqnarray*}$ , aber harmonische Reihe ist richtig.

10.11.2013, 16:55

zlosh

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ich komme auch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2k-1} \end{eqnarray*}$ , aber harmonische Reihe ist richtig.

ich kam auf $\begin{eqnarray*} \frac{2}{2k-1} \end{eqnarray*}$ und das hab ich weiter abgeschätzt.
ich sehs mir nochmal an.

danke aufjedenfall für die große hilfe.

10.11.2013, 17:03

HAL 9000

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Aja, meinte ich auch, $\begin{eqnarray*} \frac{2}{2k-1} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2k-1} \end{eqnarray*}$ ja auch eine "weitere Abschätzung" wäre. Augenzwinkern

10.11.2013, 17:09

Leopold

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Ein alternativer Ansatz. Mit der dritten binomischen Formel folgt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(-1)^n \sqrt{n} - 1} = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n \sqrt{n} + 1}{n-1} \end{eqnarray*}$

Jetzt wird die rechte Seite formal in zwei Summanden aufgespalten (formal deshalb, weil die Konvergenz noch nicht geklärt ist):

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(-1)^n \sqrt{n} - 1} = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n \sqrt{n}}{n-1} + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n-1} \end{eqnarray*}$

Wenn in dieser formalen Gleichung zwei der drei Reihen konvergieren, dann konvergiert auch die dritte, und aus der formalen Gleichung wird eine echte. Wenn dagegen eine Reihe divergiert und eine Reihe konvergiert, dann divergiert auch die dritte. Welcher Fall vorliegt, läßt sich aber leicht entscheiden.

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