invariantes n Eck im R^2

10.11.2013, 15:20	Peter 87	Auf diesen Beitrag antworten »
invariantes n Eck im R^2 Meine Frage: Hallo Leute, angenommen, ich betrachte das n Eck $\begin{eqnarray} P_n \end{eqnarray}$ im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ , was durch die Ecken $\begin{eqnarray} \left( \cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right), \sin\left(\frac{2k\pi}{n}\right) \right) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} k \in \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ definiert ist. Wie kann ich zeigen, dass die einzigen linearen Abbildungen, unter denen $\begin{eqnarray} P_n \end{eqnarray}$ invariant bleibt, Verkettungen der orthogonalen Abbildungen (Drehung und Spiegelung) $\begin{eqnarray} A:= \begin{pmatrix} \cos\left(\frac{2l\pi}{n}\right) & - \sin\left(\frac{2l\pi}{n}\right) \\ \sin\left(\frac{2l\pi}{n}\right) & \cos\left(\frac{2l\pi}{n}\right) \end{pmatrix}\qquad \textrm{und} \qquad B:=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \pm 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sind? Meine Ideen: Ich hab da erstmal ziemlich primitiv angefangen: Sei $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a&b \\c&d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ eine beliebige Matirx. Dann muss doch die Gleichung $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \cos\left(\frac{2l\pi}{n}\right) \\ \sin\left(\frac{2l\pi}{n}\right)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a&b \\ c&d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right) \\ \sin\left(\frac{2k\pi}{n}\right)\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a\cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right)+b\sin\left(\frac{2k\pi}{n}\right) \\ c\cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right)+d\sin\left(\frac{2k\pi}{n}\right)\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} l \in \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ gelten. Ja und dann müssen die Einträge $\begin{eqnarray} a,b,c,d \end{eqnarray}$ irgendwie der Form $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \cos\left(\frac{2l\pi}{n}\right) & \mp \sin\left(\frac{2l\pi}{n}\right) \\ \sin\left(\frac{2l\pi}{n}\right) & \pm\cos\left(\frac{2l\pi}{n}\right) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sein, was ja eine Verkettung von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ ist. Vielen Dank schon einmal für eure Unterstützung.
11.11.2013, 10:04	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: invariantes n Eck im R^2 Hallo Peter, Ich sehe nicht, wie man mit der Gleichung a, b, c, d eingrenzen kann und würde die Aufgabe anders angehen: Nimm einen festen Punkt und untersuche, wie viele Möglichkeiten es gibt, diesen abzubilden. Dann betrachte einen Nachbarpunkt. Wie viele Möglichkeiten gibt es für diesen nur noch? Die Bilder aller übrigen Punkte sind durch das Bild dieser beiden Punkte festgelegt und Du erhältst somit eine Maximalzahl aller linearen Abbildungen unter denen $\begin{eqnarray} P_n \end{eqnarray}$ invariant ist. Gruß Reksilat
11.11.2013, 16:55	Peter 87	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. Mal angenomen ich weiß, dass jede lineare Abbildung $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ , die $\begin{eqnarray} P_n \end{eqnarray}$ invariant lässt, einen Eckpunkt wieder auf einen Eckpunkt abbildet. Sprich $\begin{eqnarray} A\begin{pmatrix} \cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right) \\\sin\left(\frac{2\pi k}{n}\right) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos\left(\frac{2\pi l}{n}\right) \\\sin\left(\frac{2\pi l}{n}\right) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ für irgendein $\begin{eqnarray} l \in \{1, \ldots, n\} \end{eqnarray}$ . Dann nehme ich mir jetzt einen Nachbareckpunkt $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \cos\left(\frac{2\pi ( k+1)}{n}\right) \\\sin\left(\frac{2\pi (k+1)}{n}\right) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Aber woher weiß ich, wie ich das Bild wählen muss (oder wie viele Möglichkeiten es gibt). Ich mein hatte mir bisher das überlegt $\begin{eqnarray} A \begin{pmatrix} \cos\left(\frac{2\pi ( k+1)}{n}\right) \\\sin\left(\frac{2\pi (k+1)}{n}\right) \end{pmatrix} =A \begin{pmatrix} \cos\left(\frac{2\pi k}{n}+\frac{2\pi}{n}\right) \\\sin\left(\frac{2\pi k}{n}+\frac{2\pi}{n}\right) \end{pmatrix}=A \begin{pmatrix} \cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right)\cos\left(\frac{2\pi}{n}\right)-\sin\left(\frac{2\pi k}{n}\right)\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) \\ \sin\left(\frac{2\pi k}{n}\right)\cos\left(\frac{2\pi}{n}\right)+\cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right)\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) \end{pmatrix}\\= \cos\left(\frac{2\pi}{n}\right) A\begin{pmatrix} \cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right) \\\sin\left(\frac{2\pi k}{n}\right) \end{pmatrix}+\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)A\begin{pmatrix} -\sin\left(\frac{2\pi k}{n}\right) \\\cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\cos\left(\frac{2\pi}{n}\right) \begin{pmatrix} \cos\left(\frac{2\pi l}{n}\right) \\\sin\left(\frac{2\pi l}{n}\right) \end{pmatrix}+\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) A\begin{pmatrix} -\sin\left(\frac{2\pi k}{n}\right) \\\cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Aber da weiß ich jetzt auch wieder nicht weiter. Ich nehme mal an das der Nachbarpunkt nur 2 mögliche Bilder haben kann, da ich ja eigentlich die Diedergruppe auf $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ operieren lass. Kannst du mir noch bitte ein wenig weiterhelfen? Danke Edit: Zeilenumbruch eingefügt. Gruß, Reksilat.
11.11.2013, 19:29	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei x ein Punkt und y ein Nachbar von x, dann ist Ay auch ein Nachbar von Ax.
12.11.2013, 18:46	Peter 87	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Reksilat, danke, ich glaub ich habs, jedoch nur unter der Voraussetzung: $\begin{eqnarray} P_n \end{eqnarray}$ heißt invariant unter einer linearen Abbildung $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray} A(P_n)=P_n \end{eqnarray}$ und nicht nur $\begin{eqnarray} A(P_n)\subseteq P_n \end{eqnarray}$ gilt. Zweiteres würde ja hier auch kein Sinn ergeben, da ich eigentlich in der gesamten Aufgabe die Diedergruppe auf $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ operieren lassen soll und eigentlich ziegen will, dass die Diedergruppe die Gruppe der Symmetrien von einem n-Eck ist. Stimmt meine Annahme?
12.11.2013, 20:00	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Peter, Ich habe jetzt erst gesehen, dass es um die Punktmenge geht. Mein Argument mit den Nachbarn funktioniert aber nur so einfach , wenn man das n-Eck mitsamt seinen Kanten liest. Wenn man nur die Punktmenge betrachtet, hat man die Nachbarschaftsrelation natürlich nicht. Wenn auch $\begin{eqnarray} A(P_n)\subseteq P_n \end{eqnarray}$ schon Invarianz bedeuten würde, dann wäre zum Beispiel im Fall n=4 auch $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ein solche Abbildung, da sie $\begin{eqnarray} P_n=\{(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1) \end{eqnarray}$ auf die Teilmenge $\begin{eqnarray} \{(1,0),(-1,0)\} \end{eqnarray}$ abbildet.
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12.11.2013, 20:21	Peter 87	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau, $\begin{eqnarray} P_n=\{v_k+\lambda_k(v_{k+1}-v_k) \mid v_k \textrm{ ist Eckpunkt } ,0 \le \lambda_k \le 1 \} \end{eqnarray}$ , halt die Menge der Punkte, die auf den Seiten des n Ecks liegt (schließt die Ecken ja mit ein). Man kann aber trotzdem mit den Nachbarecken arbeiten, sofern natürlich $\begin{eqnarray} A(P_n)=P_n \end{eqnarray}$ , denn diese Ecken werden auch wieder durch lineare Abbildungen auf Ecken agebildet und Nachbarecken auf Nachbarecken, wenn die lineare Abbildung $\begin{eqnarray} P_n \end{eqnarray}$ invariant lässt. Daher ist dein Tip mit den Abbildungen zählen ganz praktisch. Vielen Dank
12.11.2013, 21:51	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Prima!

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