Intervallschachtelung

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Hamude Auf diesen Beitrag antworten »
Intervallschachtelung
Wir haben gelernt:

Eine Folge von abgeschl.beschränkten Intervallen heißt Intervallschachtelung in (angeordneter Körper) K, wenn:

i) und wenn
ii)

(Das e in ii) steht für epsilon und das kleine L für die Länge)



Ich soll herausfinden welche Folgen eine Intervallschachtelung sind:


1)

2)


Meine Ansätze:

1) Ist keine Intervallschachtelung da es ein offenes beschränktes Intervall ist was man an den runden Klammern sieht, und somit kein abgeschlossenes beschränktes Intervall.

2) Ich muss zeigen dass
i)
und
ii)

aber da weis ich einfach nicht wie ich da genau anfangen soll und ob ich die Folge dann für i) irgendwie außeinander nehmen muss.
Würde mich sehr über einen kleinen anstupser in die richtige Richtung freuen smile
Hamude Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ich i) beweise habe ich nun verstanden, das ist jetzt kein Problem mehr.
Für ii) fhelt mir aber leider immernoch ein Ansatz, ich bin wirklich sehr auf eure Hilfe hier angewiesen.
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »

wie verhält sich denn die Folge der Intervall-Längen für ?
Hamude Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht gegen 1, aber wie hilft mir das weiter?
und wie kontrolliert man eigentlich ob der Durchschnitt einer Folge Leer ist oder nicht? Soweit ich weis ist er nur leer wenn:

und

ist.
Gilt das dann auch für da ja offensichtlich beide gegen 1 gehen und somit dann 1-1=0 gilt und somit der Durchschnitt der Folge leer ist.

Bitte korrigiert mich wenn ich total falsch denke.
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »

siehe Punkt ii) oben in der Definition der Intervallschachtelung (wobei dort noch die Bedingung fehlt)
Hamude Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok, aber woher weis ich, dass 1<e ist?
Müsste man es nicht irgendwie so beweisen:
(ich glaube es gilt: )

==>


==>

und somit ist es keine Intervallschachtelung da 1<0 ja nicht stimmt, oder?
 
 
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hamude
Ah ok, aber woher weis ich, dass 1<e ist?

gar nicht - über wissen wir nur, dass es positiv sein muss
Aber damit unsere Folge eine Intervallschachtelung ist, muss ii) für alle positiven erfüllt sein... also insbesondere auch für (1 ist sicher vorhanden im Körper, und auch positiv).
Kannst du nun ii) zu einem Widerspruch führen?
Hamude Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich nicht, kannst du mir auch nebenbei das mit der Schnittmenge erklären bitte

Zitat:
Original von Hamude
und wie kontrolliert man eigentlich ob der Durchschnitt einer Folge Leer ist oder nicht? Soweit ich weis ist er nur leer wenn:

und

ist.
Gilt das dann auch für da ja offensichtlich beide gegen 1 gehen und somit dann 1-1=0 gilt und somit der Durchschnitt der Folge leer ist.

Bitte korrigiert mich wenn ich total falsch denke.
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »

naja, nehmen wir an, dass es ein gibt mit



wie ergibt sich nun ein Widerspruch?

Ob der Durchschnitt über eine Intervallschachtelung leer ist oder nicht, hängt auch vom zugrundeliegenden Körper ab. In den reellen Zahlen z.B. enthält jeder solche Durchschnitt genau eine Zahl, aber in den rationalen Zahlen gilt das nicht
Hamude Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, ein Widerspruch müsste sich ergeben, wenn n=0 und somit ist es keine Intervallschachtelung.

Was den Durchschnitt betrifft, was mach ich denn bei dem Beispiel was ich geschriebenn hatte, wenn ich mich nicht irre dann befinden wir uns zuzriet bei den rationalen Zahlen, also Q.
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hamude
Oh, ein Widerspruch müsste sich ergeben, wenn n=0 und somit ist es keine Intervallschachtelung.

ich sehe jetzt nicht genau, was du dir überlegt hast - aber es stimmt, dass es keine Intervallschachtelung ist

Zitat:
Was den Durchschnitt betrifft, was mach ich denn bei dem Beispiel was ich geschriebenn hatte, wenn ich mich nicht irre dann befinden wir uns zuzriet bei den rationalen Zahlen, also Q.

also in der Aufgabe (so wie sie in deinem ersten Post steht) ist nicht gefragt, ob der Durchschnitt der Intervalle leer ist - es ist nur zu entscheiden, ob die gegebenen Folgen jeweils Intervallschachtelungen sind oder nicht
Hamude Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von EinGast
Zitat:
Original von Hamude
Oh, ein Widerspruch müsste sich ergeben, wenn n=0 und somit ist es keine Intervallschachtelung.

ich sehe jetzt nicht genau, was du dir überlegt hast - aber es stimmt, dass es keine Intervallschachtelung ist

Ich dachte weil es für die 0 die Gleichung ungültig ist, wenn es das nicht ist, was sorgt sonst dafür, dass es keine Intervallschachtelung ist?

Zitat:

Zitat:
Was den Durchschnitt betrifft, was mach ich denn bei dem Beispiel was ich geschriebenn hatte, wenn ich mich nicht irre dann befinden wir uns zuzriet bei den rationalen Zahlen, also Q.

also in der Aufgabe (so wie sie in deinem ersten Post steht) ist nicht gefragt, ob der Durchschnitt der Intervalle leer ist - es ist nur zu entscheiden, ob die gegebenen Folgen jeweils Intervallschachtelungen sind oder nicht

Jop, aber es ist ja sowieso Vorraussetzung, dass der Durchschnitt nicht leer sein darf. Deswegen würde ich gerne wissen wie man das macht, am besten an dem Beispiel was ich 3 Posts vorher nochmal zitiert habe.
Hamude Auf diesen Beitrag antworten »

Edit: sry ausversehen Doppelpost
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hamude
Ich dachte weil es für die 0 die Gleichung ungültig ist

weiss nicht, was du hier meinst - aber es gilt ja ...
Zitat:

es ist ja sowieso Vorraussetzung, dass der Durchschnitt nicht leer sein darf.

nein, das ist üblicherweise nicht enthalten in der Definition der Intervallschachtelung, und auch nicht in deiner im ersten Post angegebenen Definition (dort wird ja nur verlangt, dass die Intervalle alle nichtleer sind - es wird nichts über ihren Durchschnitt verlangt)
Aber unabhängig davon ist der Durchschnitt der Intervalle () genau die Zahl 1
Hamude Auf diesen Beitrag antworten »

Sry, dass ich überall nochmal nachfrage, aber wie hilft mir dann weiter?

Dass der Durchschnitt 1 ist hatte ich mir schon gedacht, da beiden gegen 1 laufen, aber kann man das auch irgendwie mathematisch zeigen?
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hamude
Sry, dass ich überall nochmal nachfrage, aber wie hilft mir dann weiter?

wir haben dann doch die Ungleichung



also auf beiden Seiten 1 subtrahieren führt zu . Da in jedem geordneten Körper gilt, olgt durch Multiplikation mit auf beiden Seiten , Widerspruch

Zitat:
Dass der Durchschnitt 1 ist hatte ich mir schon gedacht, da beiden gegen 1 laufen, aber kann man das auch irgendwie mathematisch zeigen?

klar: 1 liegt in jedem Intervall, also auch im Durchschnitt. Wäre nun eine Zahl im Durchschnitt aller Intervalle, so wählt man einfach n so gross, dass

(möglich, da )

und dann gilt aber , womit auch nicht im Durchschnitt aller Intervalle liegen kann.
Analog führt man die Annahme zu einem Widerspruch
Hamude Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von EinGast
naja, nehmen wir an, dass es ein gibt mit



wie ergibt sich nun ein Widerspruch?


für alle n>0 wird der Bruch größer 1, somit gilt die Ungleichung nicht. Ich hatte gestern anscheinend ein Brett vor dem Kopf lol.

Was meine letzt frage wäre, warum willst du widerlegen? Warum setzt du in demm Fall e=1?


Wie könnte ich dein Durchschnittsverfahren auf



anwenden?
Ich sehe ja, dass beide gegen Null laufen, aber ich glaube nicht die 0 liegt in allen Intervallen sondern eine Zahl größer als die 0.
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hamude
für alle n>0 wird der Bruch größer 1, somit gilt die Ungleichung nicht.

ja, so ist es

Zitat:
Was meine letzt frage wäre, warum willst du widerlegen? Warum setzt du in demm Fall e=1?

weil 1. die Eins in jedem Körper vorhanden ist (und positiv ist), und 2. lässt sich die Ungleichung damit sofort widerlegen.


Zitat:
Wie könnte ich dein Durchschnittsverfahren auf



anwenden?

diese Folge ist allerdings keine Intervallschachtelung (warum?). Der Durchschnitt über alle diese Intervalle ist leer
Hamude Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wie könnte ich dein Durchschnittsverfahren auf



anwenden?

diese Folge ist allerdings keine Intervallschachtelung (warum?). Der Durchschnitt über alle diese Intervalle ist leer[/quote]

Bist du durch logisches Denken darauf gekommen? Oder wie würdest du das erklären?
___________________________________________________________________________
______

Zu dem mit e:



ii)

--->


Hier würdest du also für e=1 einsetzen? e kann doch auch viel größer als 1 sein, das verwirrt mich noch ein bisschen weil ich wie in dem Fall z.B. garnicht weis wie ich mit dem e umgehen soll
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hamude
Bist du durch logisches Denken darauf gekommen? Oder wie würdest du das erklären?

Für ist die Bedingung " für alle natürlichen Zahlen " nicht erfüllt, z.B. ist

und , also . Daher ist keine Intervallschachtelung.

Der Durchschnitt aller ist leer, da ja schon beispielsweise

Zitat:
Zu dem mit e:



ii)

--->

Hier würdest du also für e=1 einsetzen? e kann doch auch viel größer als 1 sein, das verwirrt mich noch ein bisschen weil ich wie in dem Fall z.B. garnicht weis wie ich mit dem e umgehen soll

ich glaubte, dass deine Frage zur Wahl von (warum ich wähle) sich auf die zweite Teilaufgabe bezog, wo es um die Folge ging, oder nicht?
Falls es darum geht, zu zeigen, dass die Folge eine Intervallschachtelung geht: dann wird nicht gewählt - man muss dann mit einem allgemeinen (positiven) argumentieren
Hamude Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von EinGast
Falls es darum geht, zu zeigen, dass die Folge eine Intervallschachtelung geht: dann wird nicht gewählt - man muss dann mit einem allgemeinen (positiven) argumentieren


Ja du hast Recht.
Ich weis leider nicht wie ich mit dem umgehen soll, das ist komplett neu für mich, wo würde ich denn anfangen müssen mit dem Beweis?
Moréndar Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich muss sagen, dass ich hier gerade an denselben Aufgaben rumhänge Big Laugh

Edit: Ich habe gerade mal den Rest entfernt, weil mir gerade aufgefallen ist, dass das, was ich geschrieben habe, leicht sinnlos war... Sorry Augenzwinkern
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »

ok, hier mein Vorschlag: Wir setzen zur Abkürzung

sowie und .

Zu zeigen ist, dass die Folge eine Intervallschachtelung bildet.

Es gilt für jedes

,

und daraus folgt insbesondere, dass für alle , also ist jedes nichtleer.

Sei nun . Dann gilt , und mit Hilfe von (*) folgt , also . Das zeigt für alle .

Sei vorgegeben. Für die Länge von haben wir



Somit genügt es, so zu wählen, dass , also
Hamude Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von EinGast
Somit genügt es, so zu wählen, dass , also


Was meinst du damit es genügt n so zu wählen? Hast du hiermit bewiesen, dass es eine Intervallschachtelung ist oder es widerlegt?
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hamude
Was meinst du damit es genügt n so zu wählen?

Ich will Punkt ii) der Definition aus deinem allerersten Post zeigen, also dass es zum vorgegebenen Epsilon ein gibt mit . Mit der in meinem Post angegebenen Wahl von gilt dann


Zitat:
Hast du hiermit bewiesen, dass es eine Intervallschachtelung ist oder es widerlegt?

bewiesen, dass es eine ist
Moréndar Auf diesen Beitrag antworten »

Wie genau kommt man auf das?

und

verwirrt
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »

z.B. durch , und bei einfach den Zähler summandenweise durch den Nenner teilen
Moréndar Auf diesen Beitrag antworten »

Cool, danke!
Eine letzte Frage hätte ich noch: Mir ist nicht ganz klar, warum man nimmt.
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »

da die Ungleichung auwändiger nach aufzulösen wäre, habe ich mit Hilfe von zuerst noch nach oben abgeschätzt - die nun zu lösende Ungleichung ist nun kein Problem mehr
Moréndar Auf diesen Beitrag antworten »

Also du hast du gewählt, damit es auf jeden fall größer als ist?
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »

nein, grösser als die Summe
Moréndar Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, jetzt hab ich es verstanden!
Vielen Dank! smile
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »

gern geschehen
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