Darstellbarkeit als Summe

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Wess Auf diesen Beitrag antworten »
Darstellbarkeit als Summe
Hallo!

Es geht mir um einen Beweis, bei dem ich leider nichtmal so recht die Angabe verstehe, bzw. nicht so reicht weiß, wie ich die Aussage zeigen könnte.

Es geht um folgendes: Es sei mit und .
Existieren derart, dass , so gilt:



Meine Interpretation, bzw. was ich mir bis jetzt überlegt habe:

sind ja alle Elemente, die ich durch Summen der Elemente von M bilden kann.
Der Beweis sagt also nun folgendes aus. wenn sich die ten Nachfolger einer Zahl immer durch Summen der mit schreiben lassen, so lassen sich alle Nachfolger dieser Zahl durch die schreiben.
Stimmt das soweit?

Nun, zum Beweis ist mir noch nicht so viel, trotz reichlicher Überlegung eingefallen.

Als Tipp haben wir "vollständige Induktion" bekommen, leider nicht mehr.

Also meine Vermutung wäre jetzt, den Satz per vollständiger Induktion über k zu beweisen, jedoch bin ich mir sogar da nicht sicher :S :S

Über jeden Tipp wäre ich wirklich heilfroh!!!!!!!

mfg
Tesserakt Auf diesen Beitrag antworten »

Wie wäre es, wenn du zeigst, dass jeweils alle Zahlen im Intervall darstellbar sind für alle .
Wess Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Darstellbarkeit als Summe
Vielen Dank für die Rückmeldung!!
D.h. also im Prinzip eine Induktion über j?
Tesserakt Auf diesen Beitrag antworten »

Genau.
Wess Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, ein erster Versuch:

zum Induktionsschritt:



z.z. sind durch die darstellbar, und wir wissen, dass sie bis sind darstellbar.

Es gilt ausserdem: .

Also ist , also durch die m_i von 1 bis k+j darstellbar.

Macht das so Ansatzweise Sinn?

Danke schonmal im voraus!!
Tesserakt Auf diesen Beitrag antworten »

Also, was wir zeigen wollen ist, wie du bereits angedeutet hast, dass

gilt.

Die Induktionsanfang für ist genau die Bedingung, also erfüllt.

Nun ist also zu zeigen, dass , wenn unsere Aussage für ein gilt.

Du hingegen nimmst es an.
 
 
Wess Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, dann hatte ich das komplett falsch verstanden, sorry, ich tu mir echt schwer damit!

Der Anfang war mir klar, zumindest etwas...

Bzgl Induktionsschritt:

Bringt es mir etwas, wenn ich mir ansehe:



Und weil für die I.V gilt, d.h. alle mit liegen, muss auch liegen?
Tesserakt Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Induktionsvoraussetzung ist falsch.
Die Induktionsvoraussetzung sagt nur, dass wir alle natürlichen Zahlen von bis darstellen können.

Wir wollen nun zeigen, dass auch alle natürlichen Zahlen von bis darstellbar sind.

Überlege dir dazu exemplarisch, warum aus der I.V. die Darstellbarkeit von folgt und verallgemeinere dieses Argument.

Tipp: und .
Wess Auf diesen Beitrag antworten »

Danke nochmal für die Richtigstellung!

Ich hab mich gestern Abend noch beschäftigt damit, und habe einige Ideen gesammelt, von denen ich hoffe, dass sie brauchbar sind!

Bzgl dem Tip mit :

Es gilt:

Es ist: , da .
Da nun aber gilt, muss auch sein.
Tesserakt Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz recht. smile

Nun haben wir also gezeigt, dass für alle natürlichen Zahlen die Elemente von darstellbar sind.

Nun müssen wir hieraus nur noch die ursprüngliche Aussage, die wir beweisen möchten, begründen. Das sollte allerdings einfach sein.
Wess Auf diesen Beitrag antworten »

Somit ist mir alles klar, vielen lieben Dank! Big Laugh
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Endlich mal ein Problem hier im Board, wo man eine sinnvolle Verwendung der Vollständigen Induktion mal abseits von Summenformeln und Ungleichungen sieht. Freude
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