Restgliedabschätzung bei finiten Differenzen

10.11.2013, 18:16	dozzole	Auf diesen Beitrag antworten »
Restgliedabschätzung bei finiten Differenzen Hallo, ich versuche eine Berechnungsvorschrift zu finden um die zweite Ableitung $\begin{eqnarray} u''(x_i) \end{eqnarray}$ mit Hilfe von finiten Differenzen zu berechnen. Dazu habe ich zuerst folgende Taylor Entwicklungen aufgeschrieben: $\begin{eqnarray} u(x_i +h_{i+1})=u(x_i)+h_{i+1}u'(x_i)+\frac{h_{i+1}^2}{2}u''(x_i)+R_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u(x_i -h_{i})=u(x_i)-h_{i}u'(x_i)+\frac{h_{i}^2}{2}u''(x_i)-R_2 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} R_1=\frac{h_{i+1}^3}{6}u'''(\xi_1),\, \xi_1\in \left]x_i,\, x_i+h_{i+1}\right[ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} R_2=\frac{h_{i}^3}{6}u'''(\xi_2),\, \xi_2\in \left]x_i-h_i,\, x_i\right[ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h_i=x_i-x_{i-1} \end{eqnarray}$ Wenn ich jetzt beide Entwicklungen addiere, etwas umstelle, die erste Ableitung durch die zweiseitige Differenz ersetze und $\begin{eqnarray} u(x_i)=u_i \end{eqnarray}$ einführe bekomme ich: $\begin{eqnarray} u''(x_i)=\alpha_i u_{i-1} + \beta_i u_i + \gamma_i u_{i+1}+\tilde{R} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \tilde{R}=\frac{2}{h_i^2+h_{i+1}^2}\left(R_1-R_2 \right) \end{eqnarray}$ So viel erstmal zur Vorrede. Jetzt ist die Ordnung des $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \left\|\tilde{R}\right\|<Ch^p \end{eqnarray}$ wichtig. Und genau hier startet mein Problem. Wenn ich mir das ansehe findet ich $\begin{eqnarray} \left\|\tilde{R}\right\|=\frac{2}{h_i^2+h_{i+1}^2}\left\| \frac{h_{i+1}^3}{6}u'''(\xi_1)-\frac{h_i^3}{6}u'''(\xi_1)\right\| \end{eqnarray}$ Hier sieht man das es linear in $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ ist. Mein Problem ist das die nächste Frage in der zugehörigen Hausaufgabe lautet unter welchen Bedingungen an $\begin{eqnarray} h_i , h_{i+1} \end{eqnarray}$ die Ordnung besser wird. Da die Ordnung aber schon 1 ist kann sie nicht besser werden, daher denke ich das iwas falsch ist. Ich wäre dankbar wenn mir jemand meinen Fehler aufzeigt. MfG dozzole
10.11.2013, 18:18	dozzole	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \left\|\tilde{R}\right\|=\frac{2}{h_i^2+h_{i+1}^2}\left\| \frac{h_{i+1}^3}{6}u'''(\xi_1)-\frac{h_i^3}{6}u'''(\xi_2)\right\| \end{eqnarray}$

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