Produkt und Komposition von Permutationen

10.11.2013, 21:26	ghostgate	Auf diesen Beitrag antworten »
Produkt und Komposition von Permutationen Meine Frage: Hallo zusammen, meine Frage ist: Ist ein Produkt von zwei Permutationen verschieden von einer Kompostion zweier Permutationen? Seien s1 und s2 Permutationen: $\begin{eqnarray} s_{1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & ... & n \\ i_{1} & i_{2} & ... & i_{n} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} s_{2} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & ... & n \\ j_{1} & j_{2} & ... & j_{n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} i_{1} & i_{2} & ... & i_{n} \\ k_{1} & k_{2} & ... & k_{n} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Zitat aus "Grundzüge der Algebra, Teil I", Lugowski-Weinert, 1964: "Man bezeichnet diese Nacheinanderausführung als Multiplikation der Permutationen und gebraucht entsprechend die Begriffe Faktor und Produkt:" $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & ... & n \\ i_{1} & i_{2} & ... & i_{n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i_{1} & i_{2} & ... & i_{n} \\ k_{1} & k_{2} & ... & k_{n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & ... & n \\ k_{1} & k_{2} & ... & k_{n} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Es ist ersichtlich, dass hier gilt: $\begin{eqnarray} ({1 \to i_{1}}, {2 \to i_{2}}, ..., {n \to i_{n}}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ({i_{1} \to k_{1}}, {i_{2} \to k_{2}}, ..., {i_{n} \to k_{n}}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow ({1 \to k_{1}}, {2 \to k_{2}}, ..., {n \to k_{n}}) \end{eqnarray}$ Man geht also hierzusagen "von links nach rechts" vor. Laut der Definition einer Komposition (Zitat Wikipedia http://de.wikipedia.org/wiki/Permutation#Komposition): Die Komposition wird gebildet, "indem man zunächst die erste Permutation anwendet und auf das Resultat dann die zweite Permutation. Man schreibt die Hintereinderausführung als:" $\begin{eqnarray} s_{1} \circ s_{2} \end{eqnarray}$ "Um das Ergebnis zu erhalten wendet man die Permutationen von $\begin{eqnarray} \textbf{rechts} \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} \textbf{links} \end{eqnarray}$ an und verfolgt den Weg der einzelnen Zahlen." Man sieht also, dass in einem Fall "links zu rechts" und in anderem Fall "rechts zu links" geschrieben wird. Meine Ideen: Meine Vermutung wäre, dass dadurch beim 1. Beispiel nicht $\begin{eqnarray} s_{1} \circ s_{2} \end{eqnarray}$ geschrieben wird, sondern die Verknüpfung weggelassen wird, dass es 2 verschiedene Sachen sind. Beim Produkt von disjunkten Zyklen z.B. oder bei Transformationen, ist die Rede von einem Produkt. Werden aber 2 Permutationen mit Kullerkreis verknüft, so liegt hier eine Komposition vor. Oder, dass verwendete Buch ist zu alt und nutzt einen schon geänderten Begriff. grüße
11.11.2013, 11:58	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo ghostgate, Die Verknüpfung von Permutation ist nicht eindeutig geregelt. Manch einer liest sie von links nach rechts, ein anderer von rechts nach links. Es ist also für jede Vorlesung/Literatur wichtig, darauf hinzuweisen wie dabei vorgegangen wird. Die Leseweise von rechts ist naheliegend, wenn man Permutation wie Funktionen in der Analysis liest, also $\begin{eqnarray} g(x) \end{eqnarray}$ (das Argument steht rechts). Die Leseweise von links ist in der Gruppentheorie recht gebräuchlich, da Gruppenoperationen häufig von rechts als $\begin{eqnarray} xg \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x^g \end{eqnarray}$ geschrieben werden (das Argument steht links). Ob ein Kreis für die Komposition mitgeschrieben oder weggelassen wird, spielt dabei keine Rolle. Gruß Reksilat
11.11.2013, 13:54	ghostgate	Auf diesen Beitrag antworten »
danke sehr!

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