3x3 Matrizen ermitteln, so dass AB = BA

11.11.2013, 13:08

saschaw.

3x3 Matrizen ermitteln, so dass A*B = B*A

Hallo zusammen,

ich rechne gerade einige Übungsklausuren.
Dabei gibt es eine Aufgabe, in der man 3x3 Matrizen ermitteln soll, so dass A*B = B*A gillt.

In den Übungen gab es eine ähnliche Aufgabe, in der eine Diagonalmatrix gegeben war:
Dort haben wir erst A*B und dann B*A gerechnet.
Das Ergebnis war dann die Dieagonale, die bei beiden identisch war.

Analog dazu, dachte ich ich rechne nun immer A*B und B*A aus, gucke was identisch ist und das wäre meine Matrix. Das passt aber nicht.

Die Matrix A ist z.B $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & -2 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Für B hatte ich mit Indizes gerechnet. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} b_11 & b_21 & b_31 \\ b_12 & b_22 & b_32 \\ b_13 & b_23 & b_33 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ (bekomme leider die zweiten Zahlen nicht klein. Sorry!)
Wie muss ich denn vorgehen, um die Matrizen zu ermitteln, oder ist das jeweilige Ausrechnen und dann Vergleichen vom Ansatz richtig?

Viele Grüße,
Sascha

11.11.2013, 15:11

saschaw.

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Hätte es oben eventuell noch mitschreiben können.

für A*B hätte ich dann (mit den Indizes aus dem Formeleditor)

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & -2 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2c_1 & -2c_2 & -2c_3 \\ -a_1 & -a_2 & -a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und B*A wäre
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & -2 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -a_2 & a_3 & -2a_1 \\ -b_2 & b_3 & -2b_1 \\ -c_2 & c_3 & -2c_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Frage wäre jetzt, wie und ob mich das weiterbringt....

11.11.2013, 15:22

HAL 9000

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Lautet die Aufgabe wirklich wortwörtlich so

Zitat:

Original von saschaw.
Dabei gibt es eine Aufgabe, in der man 3x3 Matrizen ermitteln soll, so dass A*B = B*A gilt.

oder doch eher

Zitat:

Dabei gibt es eine Aufgabe, in der man alle 3x3 A,B Matrizen ermitteln soll, so dass A*B = B*A gilt.

Die erste Aufgabe ist ja ungleich leichter.

11.11.2013, 15:57

saschaw.

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Oh, sorry! das meinte ich natürlich!
Richtig heißt es, dass alle 3x3 Matrizen ermittelt werden sollen, für die die Bedingung A*B=B*A gilt.

Kannst du da helfen?

11.11.2013, 19:57

saschaw.

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Hat keiner einen Hinweis zum Verfahren, wie es gemacht wird?

11.11.2013, 20:07

HAL 9000

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Naja, diese beiden Matrizen rechts

Zitat:

Original von saschaw.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & -2 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2c_1 & -2c_2 & -2c_3 \\ -a_1 & -a_2 & -a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und B*A wäre
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & -2 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -a_2 & a_3 & -2a_1 \\ -b_2 & b_3 & -2b_1 \\ -c_2 & c_3 & -2c_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

müssen gleich sein. Das ist dann bei Gleichsetzung de facto ein 9x9-lineares GLS für deine 9 Variablen $\begin{eqnarray*} a_1,\ldots,c_3 \end{eqnarray*}$ .

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