Körperaxiome testen

11.11.2013, 17:56

PusteBlume25

Körperaxiome testen

Aufgabe:

Welche Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sind Körper (versehen mit Operationen +, $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ , 0 und 1 wie in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ) ?

d) $\begin{eqnarray*} \left\{a+b\sqrt{5}+c\sqrt{2}+d\sqrt{10}: a,b,c,d\in \mathbb Q\right\} \end{eqnarray*}$

Lösung:

Ich bin mir ziemlich sicher, dass es sich bei der Menge um einen Körper handelt. Ich habe bereits alle Eigenschaften Nachgewiesen, nur das Inverse Element der Multiplikation bereitet mir Schwierigkeiten.

Also frage, gibt es ein Inverses Element:

$\begin{eqnarray*} x^{-1}=\frac{1}{a+b\sqrt{5}+c\sqrt{2}+d\sqrt{10}} \end{eqnarray*}$

Dann ist aber

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{a+b\sqrt{5}+c\sqrt{2}+d\sqrt{10}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{-(a+b\sqrt{5}+c\sqrt{2}+d\sqrt{10})}{(a+b\sqrt{5})+(c\sqrt{2}+d\sqrt{10})-((a+b\sqrt{5})+(c\sqrt{2}+d\sqrt{10}))} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{-(a+b\sqrt{5}+c\sqrt{2}+d\sqrt{10})}{(a+b\sqrt{5})²-(c\sqrt{2}+d\sqrt{10})²} \end{eqnarray*}$

Dann hab ich ja wieder die Form wie in meinem Körper.

Jetz muss ich aber noch zeigen dass:

$\begin{eqnarray*} (a+b\sqrt{5})²-(c\sqrt{2}+d\sqrt{10})² \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist.

Deswegen wollte ich guck wann:

$\begin{eqnarray*} (a+b\sqrt{5})²-(c\sqrt{2}+d\sqrt{10})² = 0 \end{eqnarray*}$ gilt.

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (a+b\sqrt{5})²= (c\sqrt{2}+d\sqrt{10})² \end{eqnarray*}$

Und jetz hänge ich.

Bringt mich das weiter oder nicht ?

Wie kann ich hier die Inverse zeigen ?

Mfg. PusteBlume

Ein paar LaTeX-Tags hatten gefehlt. Steffen

12.11.2013, 10:56

klarsoweit

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RE: Körperaxiome testen

Zitat:

Original von PusteBlume25
Dann ist aber

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{a+b\sqrt{5}+c\sqrt{2}+d\sqrt{10}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{-(a+b\sqrt{5}+c\sqrt{2}+d\sqrt{10})}{(a+b\sqrt{5})+(c\sqrt{2}+d\sqrt{10})-((a+b\sqrt{5})+(c\sqrt{2}+d\sqrt{10}))} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{-(a+b\sqrt{5}+c\sqrt{2}+d\sqrt{10})}{(a+b\sqrt{5})²-(c\sqrt{2}+d\sqrt{10})²} \end{eqnarray*}$

Diese ganze Rechnung kann ich leider nicht nachvollziehen. geschockt

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