Parametrisierung von Kurvenintegralen

11.11.2013, 19:20

der wankelmütige

Parametrisierung von Kurvenintegralen

Meine Frage:
Ich habe eine vektorwertige Funktion F(x,y,z)=(4xz^2-3y^3z, -9x^2z+2y, 4x^2z-3xy^3). Wegunabhängigkeit wurde mit Integrabilitätsbedingung geprüft und bestätigt da es sich um ein einfach zusammenhängendes Gebiet handelt.
Nun soll vom Ursprung bis P(2,1,1) das Integral bestimmt werden.

Meine Ideen:
Ich brauche dazu die Formel Int ( x(t)*x´(t) )dt von a bis b.
Nun habe ich keinen Plan wie ich auf x(t) komme.
wie ich mit x(t) weiterrechne ist mir klar.

Danke im vorraus

11.11.2013, 23:44

HAL 9000

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Zitat:

Original von der wankelmütige
Ich habe eine vektorwertige Funktion F(x,y,z)=(4xz^2-3y^3z, -9x^2z+2y, 4x^2z-3xy^3). Wegunabhängigkeit wurde mit Integrabilitätsbedingung geprüft und bestätigt da es sich um ein einfach zusammenhängendes Gebiet handelt.
Nun soll vom Ursprung bis P(2,1,1) das Integral bestimmt werden.

Welches Integral? Das mit dem Integranden $\begin{eqnarray*} F(x,y,z) \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

Für dieses $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ist aber die Integrabilitätsbedingung nicht erfüllt, wie man schnell überprüft:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial F_1}{\partial y} = -9y^2z \neq -18xz = \frac{\partial F_2}{\partial x} \end{eqnarray*}$ .

11.11.2013, 23:50

Mannenntmich

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fehler in angabe : F(x,y,z)=(4xz^2-3y^3z, -9xy^2z+2y, 4x^2z-3xy^3)

fehlte das y im f2

soll das kurvenintegral I über C P(0,0,0) bis P(2,1,1) lösen

komme nicht auf x(t)

dann gehts einfach nach genannter formel denke ich.

11.11.2013, 23:54

Mannenntmich

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x(t) ist natürlich ortsvektor (x(t),y(t),z(t)) ...

11.11.2013, 23:55

HAL 9000

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Arghhh, immer diese Schlamperei... Forum Kloppe

Zitat:

Original von der wankelmütige
Nun soll vom Ursprung bis P(2,1,1) das Integral bestimmt werden.
[...]
Ich brauche dazu die Formel Int ( x(t)*x´(t) )dt von a bis b.
Nun habe ich keinen Plan wie ich auf x(t) komme.
wie ich mit x(t) weiterrechne ist mir klar.

Na nimmt doch als Parametrisierung am besten eine Gerade, d.h.

$\begin{eqnarray*} \mathbf{x}(t) = (x(t),y(t),z(t)) = (2,1,1)\cdot t \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0\leq t\leq 1 \end{eqnarray*}$ .

Und außerdem muss es $\begin{eqnarray*} \int {\color{red}F}(\mathbf{x}(t))\cdot \mathbf{x}'(t) ~ \dd t \end{eqnarray*}$ , die nächste Unachtsamkeit. unglücklich

Du könntest natürlich auch versuchen, die (bzw. besser gesagt eine) aufgrund der Wegunabhängigkeit existierende Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \nabla f = F \end{eqnarray*}$ zu finden, mit der ist dann einfach

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{(0,0,0)}^{(2,1,1)} F(x,y,z) ~ \dd s = f(2,1,1)-f(0,0,0) \end{eqnarray*}$

12.11.2013, 00:02

Mannenntmich

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geht das einfach so?

einfach ne gerade ...

ich habe das beispiel durchgerechnet vor mir aber verstehe nicht wieso ich für die "komplizierte funktion einfach ne gerade als parametrisierung nehme und dann einfach x=2t , y=t und z=t einsetze ableit und x=2, y=1 z=1 einsetze und von 0 bis 1 intgriere.

naja

offensichtlich kann man das mit der geraden machen und ich will mich nicht aufgrängen aber da fehlt mir leider etwas an grundlage oder so ...

danke trotzdem

ich denke damit kann ich leben.

danke

12.11.2013, 00:18

HAL 9000

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Du kannst natürlich auch gern eine kompliziertere Kurve nehmen, wenn dir das mit der Gerade zu einfach ist - du hast die Wahl, denn es liegt hier ja Wegunabhängigkeit vor. Augenzwinkern

12.11.2013, 00:22

Mannenntmich

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Das heisst alle wegunabhängigen integrale sind gleich zu lösen?

da ist was mit der potentialfunktion ich weiss.

ich werde mich nochmals dran machen

12.11.2013, 23:53

Mannenntmich

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Du könntest natürlich auch versuchen, die (bzw. besser gesagt eine) aufgrund der Wegunabhängigkeit existierende Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \nabla f = F \end{eqnarray*}$ zu finden, mit der ist dann einfach

Wie hast du das gemeint?

14.11.2013, 08:01

HAL 9000

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Na so wie ich es gesagt habe. Ich hatte angenommen, wenn du von Integrabilitätsbedingung sprichst, dass dir dieses Vorgehen nicht so völlig fremd ist, wie du jetzt tust. Erster Schritt kann z.B. die Integration der ersten Komponente nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ sein:

$\begin{eqnarray*} f(x,y,z) = \int (4xz^2-3y^3z) ~ \dd x = 2x^2z^2-3xy^3z + g(y,z) \qquad (*) \end{eqnarray*}$

Letzterer Summand ist die Integrationskonstante, die ja durchaus von den anderen beiden Variablen $\begin{eqnarray*} y,z \end{eqnarray*}$ abhängen darf. Wie dieses $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ aussieht, kann man anschließend durch Differenzieren von (*) nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ mit den vorhandenen anderen beiden Komponenten von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ weiter eingrenzen.

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