Verständnisproblem Unterschied zwischen Folge und Reihe

11.11.2013, 19:45

Heidjer

Verständnisproblem Unterschied zwischen Folge und Reihe

Hallo,

wir behandeln zur Zeit "Folgen und Reihen" und ich stehe ein wenig auf dem Schlauch.

Bei einer Zahlenfolge werden ja einfach natürliche Zahlen in einer Abbildungsvorschrift in die reellen Zahlen abgebildet und die entsprechenden Werte der reellen Zahlen aneinandergereiht.

Beispielsweise wäre für die Abbildungsvorschrift $\begin{eqnarray*} a_{n} = n^{2} \end{eqnarray*}$ die entsprechende Folge ja $\begin{eqnarray*} \left\{a_{n}\right\} = 1,4,9,16,25... \end{eqnarray*}$

Nun hieß es in der Vorlesung, dass eine Reihe einfach eine neue Folge sei, und zwar die Folge der Partialsummen.

Für das obige Beispiel wären die ersten Partialsummen:

S1=1; S2=5; S3=14; S4=30; S5=55

Die Folge der Partialsummen wäre somit $\begin{eqnarray*} \left\{S_{n}\right\} = 1,5,14,30,55... \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit bis hier her?

Mein Verständnisproblem liegt nun darin, dass im weiteren Verlauf der Vorlesung gesagt wurde, dass eine Reihe letztlich einfach eine Summe von unendlich vielen Summanden ist und man dementsprechend aus der obigen Folge eine Reihe erhält, indem man schlichtweg die Kommata durch Pluszeichen ersetzt. Somit wäre dies dann ja einfach 1+4+9+16+25+...

Wie kann denn nun eine Reihe aber eine Summe sein, wo letztlich dann ja einfach eine Zahl rauskommt und gleichzeitig aber auch eine Folge, sprich eine Aneinandereihung von Zahlen, durch Kommata getrennt?

Habe hier im Forum schon Threads gelesen zu selbiger Problematik, aber irgendwie wurde ich aus diesen auch nicht so wirklich schlau.

Hoffe, es kann mich vielleicht jemand erleuchten. Vielen Dank im Voraus!

11.11.2013, 19:54

HAL 9000

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Zitat:

Original von Heidjer
Nun hieß es in der Vorlesung, dass eine Reihe einfach eine neue Folge sei, und zwar die Folge der Partialsummen.

Das ist die primäre Definition! D.h. die Symbolik $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} a_k \end{eqnarray*}$ steht parallel für zwei Dinge

1. Für die Folge $\begin{eqnarray*} (s_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} s_n=\sum_{k=1}^n a_k \end{eqnarray*}$ , die sogenannte Partialsummenfolge.

2. Für den Folgengrenzwert $\begin{eqnarray*} s=\lim_{n\to \infty} s_n \end{eqnarray*}$ , so er denn existiert. Dann, und nur dann spricht man von einer konvergenten Reihe. Sollte die Folge (s_n) bestimmt divergieren gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ , so schreibt man auch $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} a_k = \infty \end{eqnarray*}$ , analog bei bestimmter Divergenz gegen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Heidjer
Somit wäre dies dann ja einfach 1+4+9+16+25+...

Das ist nur eine "volkstümliche" Symbolik, denn was heißt hier schon ... ? Ohne Konvergenzbegriff ist das nichts wert. Für die richtige Mathematik s.o. Augenzwinkern

11.11.2013, 20:25

Heidjer

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Vielen Dank! Deine Antwort in Verbindung mit dem Wikipedia-Artikel zu Folgen und Reihen hat nun endlich Verständnis bei mir hervorgerufen!

Merci beaucoup!

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