Auf gültige Gruppe untersuchen

11.11.2013, 20:04	Hallagar	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf gültige Gruppe untersuchen Meine Frage: Es seien $\begin{eqnarray} (G, °) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (H, ) \end{eqnarray}$ Gruppen. Wir definieren $\begin{eqnarray} °G \times H : (G \times H) \times (G \times H) \to (G \times H) , ((g_1,h_1) , (g_2,h_2)) \to (g_1 ° g_2, h_1 * h_2) \end{eqnarray}$ Dann ist $\begin{eqnarray} (G \times H , ° G \times H) \end{eqnarray}$ eine Gruppe. Meine Ideen:* Ich bin hier etwas ratlos. Eigentlich würde ich ja die Axiome einer Gruppe nachweisen, aber irgendwie verstehe ich das nicht. -.- Denn wenn ich mit dem Assoziativitätsgesetz anfange, will ich zeigen $\begin{eqnarray} (a°b)°c = a°(b°c) \end{eqnarray}$ Aber ist das nicht durch Definition von " $\begin{eqnarray} ° \end{eqnarray}$ " schon gezeigt? Oder wie macht man das anders? Und müsste ich das ganze dann noch für $\begin{eqnarray} (ab)c = a(bc) \end{eqnarray}$ zeigen, aber da wüsste ich gar nicht wie. Da ist ja nichts mit umformen oder so... zumindest nicht, dass ich es sehen würde. Daher hatte ich den Ansatz zu sagen, dass $\begin{eqnarray} °: G \times G \to G , (g_1 , g_2) \to (g_1°g_2) und : H \times H \to H , (h_1 , h_2) \to (h_1 * h_2) \end{eqnarray}$ ja bereits Verkünpfungen aus gültigen Gruppen sind und ich das anhand derer zeigen könnte. Denn ich könnte ja jetzt die beiden nochmal neu definieren als $\begin{eqnarray} ° \times * : (G \times G) \times (H \times H) \to (G \times H) , ((g_1 , g_2) , (h_1,h_2)) \to ((g_1°g_2) , (h_1h_2)) \end{eqnarray}$ Naja und da ja $\begin{eqnarray} °G \times H = ° \times \end{eqnarray}$ ist, müsste doch $\begin{eqnarray} (G \times H , °G \times H) \end{eqnarray*}$ auch 'ne gültige Gruppe sein, oder nicht? Sorry im voraus schonmal für die schlechte Darstellung der Zeichen, wusste nicht, wie ich es sonst darstellen kann. Es würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen könnte, denn wenn ich diese Aufgabe gelöst habe, könnte ich morgen bereits meinen Aufgabenzettel abgeben. Liebe Grüße, Hallagar.
11.11.2013, 20:18	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Frage 1: Was ist eine gültige Grupe? Anmerkung 2: $\begin{eqnarray} (G, \circ ) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \circ_{G \times H} \end{eqnarray}$ Anmerkung 3: Ein Element dieser Menge ist von der Form (g,h). Also ist im Ass.gesetz sowas zu beweisen: $\begin{eqnarray} ((g_1,h_1)\circ_{G\times H} (g_2,h_2))\circ_{G\times H} (g_3.h_3)=\ldots \end{eqnarray}$
11.11.2013, 20:23	Hallagar	Auf diesen Beitrag antworten »
Antwort 1: Gültige Gruppe war blöd formuliert. Ich meine halt, dass es überhaupt eine Gruppe ist, also dass die Gruppenaxiome (Assoziativität, 0-Element und Inverses Element) gelten. Anmerkung 2: Werde schauen ob ich das noch ausbessern kann, wenn, dann werde ich es tun. Anmerkung 3: Danke für den Ansatz. War falsch gedacht von mir, stimmt. Werde mich gleich nochmal dran versuchen.
11.11.2013, 20:39	Hallagar	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, jetzt dachte ich, ich hätte einen Ansatz mit dem ich arbeiten könnte, dem war aber leider nicht so. Irgendwie peil ich das gerade nicht so richtig: Ich habe da jetzt folgendes stehen: $\begin{eqnarray} ((g_1,h_1)\circ_{G\times H} (g_2,h_2))\circ_{G\times H} (g_3.h_3) \end{eqnarray}$ also das, was du mir gegeben hast. Wenn ich jetzt auf die Zuordnung schaue, so müsste ich doch bekommen: $\begin{eqnarray} g_1 \circ_{}g_2 \circ_{}g_3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} h_1 h_2 h_3 \end{eqnarray}$ , oder nicht? Ich steig hier gerade gar nicht mehr durch. -.-

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