Integral ausrechnen

11.11.2013, 20:41	Gnus	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral ausrechnen Guten Abend! Ich habe Probleme damit folgendes Integral zu bestimmen. Ersteinmal die Aufgabe: Für $\begin{eqnarray} G=\lbrace (x,y) \in \mathbb R^2 :y>0,y-x>-1,y^2-x-1<0 \rbrace \end{eqnarray}$ bestimme man $\begin{eqnarray} \int_G \! cosh \frac{x}{y+1} \, d(x,y) \end{eqnarray}$ . Mein Ansatz: Die von rot, grün, blau eingeschlossene Fläche ist unser Integrationsgebiet G. Wir trennen dieses durch eine Senkrechte bei x=1 in zwei Teilgebiete auf. Dann gilt bei Auftrennung und mit Fubini: $\begin{eqnarray} \int_G \! cosh \frac{x}{y+1} \, d(x,y) =\int_{-1}^{1} (\int_{0}^{\sqrt{x+1}} \! cosh \frac{x}{y+1} \, dy )dx + \int_{1}^{3} (\int_{x-1}^{\sqrt{x+1}} \! cosh \frac{x}{y+1} \, dy )dx \end{eqnarray}$ Ab diesem Punkt schaffe ich es nicht eines der Integrale zu bestimmen. Auch wenn ich erst nach x und dann nach y integriere nicht. Ich habe versucht zu verwenden, dass $\begin{eqnarray} cosh(x)=cos(ix)=\frac{1}{2}(e^x +e^{-x}) \end{eqnarray}$ ist, aber auch hier kam ich nach mehreren Seiten Umformung auf derart komische Terme, das dass nicht richtig sein kann. Ich wäre dankbar, wenn mir jemand die richtige Herangehensweise verraten könnte. MfG
11.11.2013, 21:05	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Mach es anders herum: äußeres Integral über $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ , inneres über $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ . Dann geht es wunderbar. Der Integralwert ist $\begin{eqnarray} 6 \sinh 1 - 2 \cosh 1 \end{eqnarray}$ .
11.11.2013, 22:09	Gnus	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Leopold! Ich soll also wie folgt rechnen: $\begin{eqnarray} \int_G \! cosh \frac{x}{y+1} \, d(x,y) =\int_{0}^{\sqrt{x+1}} (\int_{-1}^{1} \! cosh \frac{x}{y+1} \, dx )dy + \int_{x-1}^{\sqrt{x+1}} (\int_{1}^{3} \! cosh \frac{x}{y+1} \, dx )dy \end{eqnarray}$ . Dies habe ich schon probiert und kam nach Bestimmung der inneren Integrale nicht weiter. Es ist $\begin{eqnarray} \int_{-1}^{1} \! cosh \frac{x}{y+1} \, dx = [(y+1)sinh(\frac{x}{y+1})]_{-1}^{1}=2(y+1)sinh(\frac{1}{y+1}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \int_{1}^{3} \! cosh \frac{x}{y+1} \, dx=[(y+1)sinh(\frac{x}{y+1})]_{1}^{3}=(y+1)(sinh(\frac{3}{y+1})-sinh(\frac{1}{y+1})) \end{eqnarray}$ . Nun komme ich nicht weiter. Ich habe eine Substitution mit $\begin{eqnarray} z=y+1 \end{eqnarray}$ probiert, weil ich hoffte eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray} zsinh(\frac{1}{z}) \end{eqnarray}$ zu haben, aber auch hier wusste ich nicht weiter. Es wäre super, wenn du mir noch weiterhelfen könntest. MfG
11.11.2013, 23:06	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Grenzen des äußeren Integrals können niemals von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ abhängen, wenn über $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ im inneren Integral integriert wird. Das müssen konstante Werte sein. Und die Grenzen des inneren Integrals müssen von $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ abhängen, nicht von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ . Richtig ist $\begin{eqnarray} \int_G \cosh \frac{x}{y+1} ~ \dd (x,y) = \int \limits_0^2 \int \limits_{y^2 - 1}^{y+1} \cosh \frac{x}{y+1} ~ \dd x ~ \dd y \end{eqnarray}$ Die Werte können an der Zeichnung abgelesen werden.

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