Integration über Objekten (z.B. Tetraeder)

11.11.2013, 21:49

toneesnightmare

Integration über Objekten (z.B. Tetraeder)

Hallo,

ich habe eine Verständnisfrage zu dem was man da eigentlich berechnet.
Wenn ich eine Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ über ein Dreieck $\begin{eqnarray*} T \in \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ integriere, also $\begin{eqnarray*} \int_T f(x,y) dT \end{eqnarray*}$ , dann erhalte ich ja das Volumen zwischen dem Dreieck und der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ .
Falls $\begin{eqnarray*} f(x,y) = 1 \end{eqnarray*}$ ist, dann erhalte ich doch den Flächeninhalt von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ .

Was ist nun, wenn $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ einen Tetraeder beschreibt?
Berechne ich hier wieder das Volumen, das zwischen (also exklusive des Volumen des Tetraeder) dem 3-dimensionalen Tetraeder und der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ liegt?
Und was passiert wenn hier auch $\begin{eqnarray*} f(x,y) =1 \end{eqnarray*}$ betrachtet wird?
Wohl kaum der Oberflächeninhalt des Tetraeders, oder?
Habe es versucht grob aufzuzeichnen:

Gruß

Externen Link entfernt, weil der irgendwann nicht mehr funktioniert.
Statt dessen Bild hier als Anhang eingefügt.
Zweiten Beitrag gelöscht, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet.
Zweiten Beitrag statt dessen hier unten eingefügt.
Steffen

Oder kommt etwa immer bei $\begin{eqnarray*} f(x,y) = 1 \end{eqnarray*}$ der Flächeninhalt der Funktion(!) $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ raus?
Also bei $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ : Dreieck, der Flächeninhalt der Funktion über dem Dreieck und bei $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ : Tetraeder, der Flächeninhalt der Funktion über dem Tetraeder, bzw. über den Boden des Tetaeders?
Hammer

12.11.2013, 11:41

Ehos

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Jedes Volumenintegral $\begin{eqnarray*} \int_G f(\vec x)\,dV \end{eqnarray*}$ über ein Gebiet G des n-dimensionalen Raumes liefert im Fall $\begin{eqnarray*} f(\vec x)=1 \end{eqnarray*}$ das Volumens dieses n-dimensionalen Gebietes.

Beispiel:
Ist das Gebiet ein n-dimensionaler Simplex, der von den n Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec a_1, \vec a_2,...,\vec a_n \end{eqnarray*}$ aufgespannt wird, so liefert das Integral im Fall $\begin{eqnarray*} f(\vec x)=1 \end{eqnarray*}$ das n-dimensionale Volumen dieses Simplex, also $\begin{eqnarray*} V_n=\tfrac{1}{n!}\det (\vec a_1, \vec a_2,...,\vec a_n) \end{eqnarray*}$ . Ein Dreieck ist ein 2-dimensionales Simplex. Für n=2 liefert das obige Integral also die Fläche des Dreieckes $\begin{eqnarray*} A=V_2=\tfrac{1}{2}\det (\vec a_1, \vec a_2) \end{eqnarray*}$ . Ein Tetraeder ist ein 3-dimensionaler Simplex. Dafür liefert das obge Integral das Tetraeder-Volumen $\begin{eqnarray*} V_3=\tfrac{1}{6}\det (\vec a_1, \vec a_2, \vec a_3) \end{eqnarray*}$ .

12.11.2013, 13:14

Leopold

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RE: Integration über Objekten (z.B. Tetraeder)
Wenn du als Integrationsbereich einen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -dimensionalen Bereich hast, dann brauchst du als Integranden eine reellwertige Funktion in $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Variablen.

Wenn also $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ ein Dreieck ist (zweidimensional), dann kannst du unter gewissen Ansprüchen an die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ zweier Variabler $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ ein Integral $\begin{eqnarray*} \int_T f(x,y) ~ \dd (x,y) \end{eqnarray*}$ berechnen. Das Ganze geht jedoch nicht mehr, wenn $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ ein Tetraeder ist. Denn die Dimensionen passen nicht zueinander. Für ein Tetrader $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ (dreidimensional) brauchst du eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ dreier Variabler $\begin{eqnarray*} x,y,z \end{eqnarray*}$ , also: $\begin{eqnarray*} \int_T f(x,y,z) ~ \dd (x,y,z) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von toneesnightmare
Wenn ich eine Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ über ein Dreieck $\begin{eqnarray*} T \in \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ integriere, also $\begin{eqnarray*} \int_T f(x,y) dT \end{eqnarray*}$

Übrigens: Die Objekte des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ sind Zahlenpaare $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ . Eine Aussage wie $\begin{eqnarray*} T \in \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ ein Dreieck ist, ist daher ohne Sinn, denn $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ ist kein Element des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ , sondern setzt sich selber aus Elementen des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ zusammen, ist also eine Teilmenge des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ . Richtig ist daher: $\begin{eqnarray*} T \subseteq \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ . Nicht immer, wenn man geometrisch "liegt in" sagt, darf man $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ verwenden.

16.11.2013, 17:45

toneesnightmare

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Vielen Dank für eure Antworten!
Damit habe ich also meine Bestätigung, dass
$\begin{eqnarray*} Vol_G = \int_G 1 \ dG \end{eqnarray*}$ ist, egal ob $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ dabei ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -Simplex ist oder nicht.

Was ist mit dem Fall, dass $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ein Tetraeder ist und ich
$\begin{eqnarray*} \int_G f(x,y,z) \ dG \end{eqnarray*}$ rechne.
Berechne ich hier das Volumen, das zwischen (also exklusive des Volumen des Tetraeder) dem 3-dimensionalen Tetraeder und der Funktion liegt?

@Ehos
Kann es sein, das bei der Formel $\begin{eqnarray*} V_n = \frac{1}{n!} \det(\vec{a}_1,...,\vec{a}_n) \end{eqnarray*}$ ein Betrag um die Determinate fehlt?
Hab ein Beispiel für einen Tetraeder nachgerechnet und einmal kamm $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und das andere Mal $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ raus. Ansonsten habe ich mich einfach verrechnet.

@Leopold
Danke für die Hinweise auf die Feinheiten.
Man könnte aber auch eine Funktion in zwei Variablen, z.B $\begin{eqnarray*} f(x,y) =xy \end{eqnarray*}$ ,
als eine Funktion in drei Variablen interpretieren, also $\begin{eqnarray*} f(x,y,z) = xy \end{eqnarray*}$ , oder?
Für mein Verständnis:
Müsste man dann nicht $\begin{eqnarray*} T \subset \mathbb{R}^2\ \end{eqnarray*}$ schreiben oder
kann man sich auch Dreiecke $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ , mit Eckpunkten im unendlichen wählen?

16.11.2013, 20:41

toneesnightmare

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Zitat:

Was ist mit dem Fall, dass $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ein Tetraeder ist und ich
$\begin{eqnarray*} \int_G f(x,y,z) \ dG \end{eqnarray*}$ rechne.
Berechne ich hier das Volumen, das zwischen (also exklusive des Volumen des Tetraeder) dem 3-dimensionalen Tetraeder und der Funktion liegt?

Nach Einlesen in ein Wiki, meine ich nun einen Überblick zu haben.
Falls was falsch ist, bitte ich um Korrektur.

Dreifachintegral
1. Volumen eines 3-dimensionalen Objektes\Gebietes:
  $\begin{eqnarray*} \iiint_G 1 \ dG \end{eqnarray*}$
2. Masse eines 3-dimensionalen Objektes/Gebietes:
  Sei $\begin{eqnarray*} f(x,y,z) \end{eqnarray*}$ die Dichte eines Punktes $\begin{eqnarray*} (x,y,z) \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} \iiint_G f(x,y,z) \ dG \end{eqnarray*}$
Zweifachintegral
1. Fläche eines 2-dimensionalen Gebietes:
  $\begin{eqnarray*} \iint_G 1 \ dG \end{eqnarray*}$
2. Volumen zwischen Gebiet und Funktion:
  $\begin{eqnarray*} \iint_G f(x,y) \ dG \end{eqnarray*}$

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