Funktionen einer Zufallsvariable

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Dweezil Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionen einer Zufallsvariable
Hallo,

meine Frage ist bezüglich der Transformation von Zufallsvariablen. Ich habe eine Zufallsvariable X mit bekannter Verteilung. Wie kann ich dann die Verteilung berechnen, die entsteht wenn man eine Funktion g auf X anwendet?

Ein Beispiel: X ist Normalverteilt X ~ N(mu, sigma). Was ist dann die Dichtefunktion für
Y = exp(X)?

In meinen einfachen Lehrbüchern ist nur die Berechnung für den Erwartungswert von Y angegeben. Im Internet habe ich auf die Schnelle gefunden:
"...die Dichte ist gegeben durch
".

Hier kann ich leider nicht genug Mathematik, um diese Formel interpretieren zu können. Kann mir vielleicht jemand mit einer Erklärung weiterhelfen?

Vielen Dank!

Schöne Grüße,
Martin
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dweezil
In meinen einfachen Lehrbüchern ist nur die Berechnung für den Erwartungswert von Y angegeben. Im Internet habe ich auf die Schnelle gefunden:
"...die Dichte ist gegeben durch
".

Hier kann ich leider nicht genug Mathematik, um diese Formel interpretieren zu können.

Tja, das ist leider wieder so ein herausgerissenes Zitat, was ohne Erläuterung der verwendeten Symbole wenig bringt. Das hat auch nur zum Teil mit "nicht genug Mathematik können" zu tun, sondern mit gründlichen Lesen des Umfelds, wo diese Formel angebracht wird. unglücklich

Hier geht es um mit einer bijektiven (!) stetig differenzierbaren Funktion , die die Umkehrfunktion besitzt. Dann ist dieses die Dichte von , sofern die Dichte von ist.

Indikatorfunktion lässt sich so deuten: ist der Bildbereich der angesprochenen bijektiven Funktion , genauer gesagt ist mit einem Definitionsbereich , für den zwingend gelten muss.


Konkret im vorliegenden Fall : Hier ist eine bijektive Funktion mit und .

Die Umkehrfunktion ist dann natürlich mit , es ergibt sich mit X-Dichte dann die Y-Dichte





Aber ACHTUNG im allgemeinen Fall: Sollte mal nicht bijektiv sein, wie etwa schon bei , dann ist diese Formel nicht anwendbar! In dem Fall geht man zweckmäßigerweise über die Verteilungsfunktion sowie das Urbild (trotz Symbolgleichheit nicht zu verwechseln mit obiger Umkehrfunktion ):

,

was dann bei brauchbarer Urbilddarstellung irgendwann auf Terme mit der Verteilungsfunktion der Ausgangszufallsgröße führt. Eine zugehörige Dichte ergibt sich dann durch Ableitung von nach .
 
 
Dweezil Auf diesen Beitrag antworten »
Re: Funktionen einer Zufallsvariable
Hallo,

erstmal Danke für die ausführliche Antwort! Mir ist schon klar, dass das Rausreißen von Formeln i.A. keine gute Idee ist. Das konkrete Problem hier ist, dass ich in allen gängigen Lehrbüchern über Statistik für Ingenieure (ich studiere Verfahrenstechnik an einer TU und habe eine diesem Fach entsprechende Matheausbildung, im Bereich Statistik also viel zu wenig), sehr viele Verfahren/Rechenschemas für einfache Probleme angegeben sind. Verfahren zum Berechnen einer allgemeinen Funktion einer (oder auch nur einer Linearkombination zweier) Zufallsvariablen, finde ich nur in Mathebüchern für Statistiker. Hier muss ich aber ehrlich eingestehen, dass ich nicht das nötige Grundlagenwissen habe um die dortigen Beschreibungen ausreichend zu verstehen.

In einer Übung (eigentlich für Physiker) über Datenanalyse werden diese Fragestellungen derzeit behandelt, allerdings ohne ausreichende (im konkreten Fall habe ich überhaupt keine gefunden) Beschreibungen im Skriptum.

Warum ist in dem Fall das Verfahren so kompliziert? Im Fall der Summe zweier Zufallsvar. scheint dies mit der Faltung etwas einfacher zu lösen zu sein?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dweezil
Warum ist in dem Fall das Verfahren so kompliziert?

Stellst du diese Frage auch bei ingenieurtechnischen Problemen, a la "Warum kann man nicht alles mit LEGO-Bausteinen aufbauen?". smile

Es ist sehr subjektiv, dass das "so" kompliziert ist, weil du dich eben nicht so mit der Materie beschäftigen willst bzw. kannst. Kann ich verstehen, aber nicht die Jammerei darüber.


Zwei Anmerkungen noch:

1) Vor Äpfel-und-Birnen-Vergleichen wie "bei der Faltung ist es ja auch einfacher" sollte man sich hüten: Die obige Transformation vereinfacht sich auch drastisch, wenn man nicht mehr derart allgemeine -Funktionen betrachtet. Beschränkt man sich etwa auf den häufig gebrauchten Fall linearer Transformationen mit reellen Konstanten und , dann bekommt man über unmittelbar die Dichteformel

Zitat:
für Zufallsgröße

die man natürlich so auch ohne den ganzen Theorierahmen oben (mit ) in irgendeiner Formelsammlung abdrucken kann.

2) Die von dir so als "einfacher" gepriesene Faltungsformel wird üblicherweise auch mit dem obigen Transformationssatz nachgewiesen - allerdings der Variante für zwei- und mehrdimensionale Zufallsvektoren. Der verdient dann eher die Berechtigung kompliziert genannt zu werden, da dort auch noch (Jacobi-)Matrizen und deren Determinanten auftauchen. Augenzwinkern
Dweezil Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmals danke für die Antwort.

Was deine Frage betrifft: bezüglich anderer (mathematisch auch anspruchsvoller)Themenbereiche, haben wir ausreichend Zeit in den Vorlesungen, uns damit soweit auseinanderzusetzen, um auch die komplexe Wirklichkeit mit Legobausteinen nachzubauen. Augenzwinkern

Aber du hast schon Recht, statt zu jammern sollte ich mich gleich an den betr. Prof. wenden.
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