bedingter Erwartungswert und unabhängige Zufallsvariablen

12.11.2013, 10:08

mathelucy

bedingter Erwartungswert und unabhängige Zufallsvariablen

Ich arbeite gerade an einem Seminarvortrag und finde für die zweite Gleichung keine wirklich schöne mathematische Erklärung:

$\begin{eqnarray*} h(X,Y) = E(h(X,Y)|X,Y) = E(E(h(X,Y)|X)|Y) \end{eqnarray*}$

wobei X,Y unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen seien.

Meine Ideen:
Wie kann ich die zweite Gleichung ganz allgemein zeigen?
Gilt im allgemeinen Fall

$\begin{eqnarray*} E(h(X,Y)|X,Y)(\omega) = E(h(X,Y)|X=x,Y=y) \end{eqnarray*}$ ?

Folgt die zweite Gleichung vielleicht schon aus dem Satz von Fubini?

12.11.2013, 10:45

HAL 9000

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So hatte ich das aber in dem von dir auf unfeine Art "entsorgten" Thread nicht gemeint. unglücklich

Nun ist zwar $\begin{eqnarray*} h(X,Y) = E(h(X,Y)|X,Y) \end{eqnarray*}$ richtig, aber dafür ist $\begin{eqnarray*} h(X,Y) = E(E(h(X,Y)|X)|Y) \end{eqnarray*}$ jetzt falsch, während das im Original herauslesbare $\begin{eqnarray*} E(h(X,Y)) = E(E(h(X,Y)|X)|Y) \end{eqnarray*}$ richtig war:

$\begin{eqnarray*} E(Z | X) \end{eqnarray*}$ ist per definitionem eine $\begin{eqnarray*} \sigma(X) \end{eqnarray*}$ -messbare Zufallsgröße, und als solche von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ unabhängig. Dann ist aber $\begin{eqnarray*} E(E(Z | X) | Y) = E(Z) \end{eqnarray*}$ laut Eigenschaften der bedingten Erwartung, das gilt auch für $\begin{eqnarray*} Z=h(X,Y) \end{eqnarray*}$ .

Kurzum: Richtig sind

$\begin{eqnarray*} h(X,Y) = E(h(X,Y)|X,Y) \end{eqnarray*}$ (Zufallsgröße)

$\begin{eqnarray*} E(h(X,Y)) = E(E(h(X,Y)|X)|Y) \end{eqnarray*}$ (reelle Zahl)

evtl. kombinierbar zu

$\begin{eqnarray*} E(h(X,Y)) = E(E(h(X,Y)|X,Y)) = E(E(h(X,Y)|X)|Y) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von mathelucy
Gilt im allgemeinen Fall

$\begin{eqnarray*} E(h(X,Y)|X,Y)(\omega) = E(h(X,Y)|X=x,Y=y) \end{eqnarray*}$ ?

Es gilt

$\begin{eqnarray*} E(h(X,Y)|X,Y)(\omega) = E(h(X,Y)|X=x,Y=y) = h(x,y) \end{eqnarray*}$

für diejenigen $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ , für die $\begin{eqnarray*} X(\omega)=x,Y(\omega)=y \end{eqnarray*}$ gilt. Selbstredend spricht man (wie immer bei bedingter Erwartung) hier nur von Gleichheit P-fast überall.

12.11.2013, 13:43

mathelucy

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Sorry wollte aber das erste Zitat ändern damit das bei anderen Lesern keine Verwirrung stiftet, konnte dies aber aus welchen Gründen auch immer nich und habe es deswegen schließen lassen.

Aber nochmal zu deinen Ausführungen. Stimmt da habe ich in der zweiten Gleichung klar einen Fehler.

Ich hänge aber leider gerade an einem Problem bezüglich des starken Gesetzes der großen Zahlen und zwar soll

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}\sum_{j=k+1}^{n}[\sum_{i=1}^{k} h(X_{i},X_{j})] \to \sum_{i=1}^{k}E(h(X_{i},X_{k+1}|X_{i}) \end{eqnarray*}$ (P-f.s.) für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$

konvergieren nach dem Gesetz der großen Zahlen. Ich versuche alles aber werde einfach nicht so richtig schlau daraus.
Ich lasse sozusagen konvergieren unter der Bedingung, dass ich die Informationen bzgl. $\begin{eqnarray*} X_{i} \end{eqnarray*}$ bereits kenne oder wie?!

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